Giải tích Ví dụ

$\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (x) + \ln (\frac{2 x}{1 + x})$

Bước 1

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Rút gọn $\ln (x) + \ln (\frac{2 x}{1 + x})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (x \frac{2 x}{1 + x})$

Bước 1.1.2

Nhân $x \frac{2 x}{1 + x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Kết hợp $x$ và $\frac{2 x}{1 + x}$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (\frac{x (2 x)}{1 + x})$

Bước 1.1.2.2

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (\frac{2 (x^{1} x)}{1 + x})$

Bước 1.1.2.3

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (\frac{2 (x^{1} x^{1})}{1 + x})$

Bước 1.1.2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (\frac{2 x^{1 + 1}}{1 + x})$

Bước 1.1.2.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (\frac{2 x^{2}}{1 + x})$

Bước 2

Để cân bằng phương trình, đối số của logarit trên cả hai vế của phương trình phải cân bằng.

$\frac{x^{2}}{1 - x} = \frac{2 x^{2}}{1 + x}$

Bước 3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân tử số của phân số thứ nhất với mẫu số của phân số thứ hai. Đặt giá trị này bằng tích của mẫu số của phân số thứ nhất và tử số của phân số thứ hai.

$x^{2} (1 + x) = (1 - x) (2 x^{2})$

Bước 3.2

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn $x^{2} (1 + x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Viết lại.

$0 + 0 + x^{2} (1 + x) = (1 - x) \cdot (2 x^{2})$

Bước 3.2.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$x^{2} (1 + x) = (1 - x) \cdot (2 x^{2})$

Bước 3.2.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} \cdot 1 + x^{2} x = (1 - x) \cdot (2 x^{2})$

Bước 3.2.1.4

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$x^{2} + x^{2} x = (1 - x) \cdot (2 x^{2})$

Bước 3.2.1.5

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.5.1

Nhân $x^{2}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.5.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$x^{2} + x^{2} x^{1} = (1 - x) \cdot (2 x^{2})$

Bước 3.2.1.5.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x^{2} + x^{2 + 1} = (1 - x) \cdot (2 x^{2})$

Bước 3.2.1.5.2

Cộng $2$ và $1$ .

$x^{2} + x^{3} = (1 - x) \cdot (2 x^{2})$

Bước 3.2.2

Rút gọn $(1 - x) \cdot (2 x^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Rút gọn bằng cách nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} + x^{3} = 1 (2 x^{2}) - x (2 x^{2})$

Bước 3.2.2.1.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.2.1

Nhân $2 x^{2}$ với $1$ .

$x^{2} + x^{3} = 2 x^{2} - x (2 x^{2})$

Bước 3.2.2.1.2.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$x^{2} + x^{3} = 2 x^{2} - 1 \cdot 2 x \cdot x^{2}$

Bước 3.2.2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.2.1

Nhân $x$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.2.1.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$x^{2} + x^{3} = 2 x^{2} - 1 \cdot 2 (x^{2} x)$

Bước 3.2.2.2.1.2

Nhân $x^{2}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.2.1.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$x^{2} + x^{3} = 2 x^{2} - 1 \cdot 2 (x^{2} x^{1})$

Bước 3.2.2.2.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x^{2} + x^{3} = 2 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2 + 1}$

Bước 3.2.2.2.1.3

Cộng $2$ và $1$ .

$x^{2} + x^{3} = 2 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{3}$

Bước 3.2.2.2.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$x^{2} + x^{3} = 2 x^{2} - 2 x^{3}$

Bước 3.2.3

Di chuyển tất cả các số hạng chứa $x$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Trừ $2 x^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{2} + x^{3} - 2 x^{2} = - 2 x^{3}$

Bước 3.2.3.2

Cộng $2 x^{3}$ cho cả hai vế của phương trình.

$x^{2} + x^{3} - 2 x^{2} + 2 x^{3} = 0$

Bước 3.2.3.3

Trừ $2 x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$x^{3} - x^{2} + 2 x^{3} = 0$

Bước 3.2.3.4

Cộng $x^{3}$ và $2 x^{3}$ .

$3 x^{3} - x^{2} = 0$

Bước 3.2.4

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $3 x^{3} - x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $3 x^{3}$ .

$x^{2} (3 x) - x^{2} = 0$

Bước 3.2.4.2

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $- x^{2}$ .

$x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1 = 0$

Bước 3.2.4.3

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1$ .

$x^{2} (3 x - 1) = 0$

Bước 3.2.5

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x^{2} = 0$

$3 x - 1 = 0$

Bước 3.2.6

Đặt $x^{2}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.6.1

Đặt $x^{2}$ bằng với $0$ .

$x^{2} = 0$

Bước 3.2.6.2

Giải $x^{2} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Bước 3.2.6.2.2

Rút gọn $\pm \sqrt{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.6.2.2.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Bước 3.2.6.2.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 0$

Bước 3.2.6.2.2.3

Cộng hoặc trừ $0$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 3.2.7

Đặt $3 x - 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.7.1

Đặt $3 x - 1$ bằng với $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Bước 3.2.7.2

Giải $3 x - 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.7.2.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$3 x = 1$

Bước 3.2.7.2.2

Chia mỗi số hạng trong $3 x = 1$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.7.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $3 x = 1$ cho $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Bước 3.2.7.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.7.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.7.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Bước 3.2.7.2.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Bước 3.2.8

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $x^{2} (3 x - 1) = 0$ đúng.

$x = 0, \frac{1}{3}$

Bước 4

Loại bỏ đáp án không làm cho $\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (x) + \ln (\frac{2 x}{1 + x})$ đúng.

$x = \frac{1}{3}$

Bước 5

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$x = \frac{1}{3}$

Dạng thập phân:

$x = 0.\overline{3}$