Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{8 x - 9}{6 x^{2} + 1}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 8 x - 9$ và $g (x) = 6 x^{2} + 1$ .

$\frac{(6 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [8 x - 9] - (8 x - 9) \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 1]}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $8 x - 9$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{(6 x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (8 x - 9) \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 1]}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.2

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 x$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(6 x^{2} + 1) (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (8 x - 9) \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 1]}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(6 x^{2} + 1) (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]) - (8 x - 9) \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 1]}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.4

Nhân $8$ với $1$ .

$\frac{(6 x^{2} + 1) (8 + \frac{d}{d x} [- 9]) - (8 x - 9) \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 1]}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.5

Vì $- 9$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 9$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(6 x^{2} + 1) (8 + 0) - (8 x - 9) \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 1]}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Cộng $8$ và $0$ .

$\frac{(6 x^{2} + 1) \cdot 8 - (8 x - 9) \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 1]}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.6.2

Di chuyển $8$ sang phía bên trái của $6 x^{2} + 1$ .

$\frac{8 \cdot (6 x^{2} + 1) - (8 x - 9) \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 1]}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $6 x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{8 (6 x^{2} + 1) - (8 x - 9) (\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.8

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 x^{2}$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{8 (6 x^{2} + 1) - (8 x - 9) (6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{8 (6 x^{2} + 1) - (8 x - 9) (6 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.10

Nhân $2$ với $6$ .

$\frac{8 (6 x^{2} + 1) - (8 x - 9) (12 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.11

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{8 (6 x^{2} + 1) - (8 x - 9) (12 x + 0)}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.12

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.12.1

Cộng $12 x$ và $0$ .

$\frac{8 (6 x^{2} + 1) - (8 x - 9) (12 x)}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.12.2

Nhân $12$ với $- 1$ .

$\frac{8 (6 x^{2} + 1) - 12 (8 x - 9) x}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{8 (6 x^{2}) + 8 \cdot 1 - 12 (8 x - 9) x}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{8 (6 x^{2}) + 8 \cdot 1 + (- 12 (8 x) - 12 \cdot - 9) x}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{8 (6 x^{2}) + 8 \cdot 1 - 12 (8 x) x - 12 \cdot - 9 x}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1

Nhân $6$ với $8$ .

$\frac{48 x^{2} + 8 \cdot 1 - 12 (8 x) x - 12 \cdot - 9 x}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.1.2

Nhân $8$ với $1$ .

$\frac{48 x^{2} + 8 - 12 (8 x) x - 12 \cdot - 9 x}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.1.3

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.3.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{48 x^{2} + 8 - 12 (8 (x \cdot x)) - 12 \cdot - 9 x}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.1.3.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{48 x^{2} + 8 - 12 (8 x^{2}) - 12 \cdot - 9 x}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.1.4

Nhân $8$ với $- 12$ .

$\frac{48 x^{2} + 8 - 96 x^{2} - 12 \cdot - 9 x}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.1.5

Nhân $- 12$ với $- 9$ .

$\frac{48 x^{2} + 8 - 96 x^{2} + 108 x}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.2

Trừ $96 x^{2}$ khỏi $48 x^{2}$ .

$\frac{- 48 x^{2} + 8 + 108 x}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- 48 x^{2} + 108 x + 8}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.6

Đưa $4$ ra ngoài $- 48 x^{2} + 108 x + 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 48 x^{2}$ .

$\frac{4 (- 12 x^{2}) + 108 x + 8}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.6.2

Đưa $4$ ra ngoài $108 x$ .

$\frac{4 (- 12 x^{2}) + 4 (27 x) + 8}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.6.3

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$\frac{4 (- 12 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 (2)}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.6.4

Đưa $4$ ra ngoài $4 (- 12 x^{2}) + 4 (27 x)$ .

$\frac{4 (- 12 x^{2} + 27 x) + 4 (2)}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.6.5

Đưa $4$ ra ngoài $4 (- 12 x^{2} + 27 x) + 4 (2)$ .

$\frac{4 (- 12 x^{2} + 27 x + 2)}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 12 x^{2}$ .

$\frac{4 (- (12 x^{2}) + 27 x + 2)}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.8

Đưa $- 1$ ra ngoài $27 x$ .

$\frac{4 (- (12 x^{2}) - (- 27 x) + 2)}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.9

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (12 x^{2}) - (- 27 x)$ .

$\frac{4 (- (12 x^{2} - 27 x) + 2)}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.10

Viết lại $2$ ở dạng $- 1 (- 2)$ .

$\frac{4 (- (12 x^{2} - 27 x) - 1 (- 2))}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.11

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (12 x^{2} - 27 x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{4 (- (12 x^{2} - 27 x - 2))}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.12

Viết lại $- (12 x^{2} - 27 x - 2)$ ở dạng $- 1 (12 x^{2} - 27 x - 2)$ .

$\frac{4 (- 1 (12 x^{2} - 27 x - 2))}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.13

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{4 (12 x^{2} - 27 x - 2)}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$