Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{2 \sin (x)}{3 + \cos (x)}$

Bước 1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{2 \sin (x)}{3 + \cos (x)}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{3 + \cos (x)}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{3 + \cos (x)}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 3 + \cos (x)$ .

$2 \frac{(3 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [3 + \cos (x)]}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 3

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$2 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [3 + \cos (x)]}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 + \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 4.2

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$2 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 4.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 5

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$2 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$2 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) + 1 \sin (x) \sin (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.2

Nhân $\sin (x)$ với $1$ .

$2 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \sin (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 7

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$2 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 8

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$2 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 9

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 10

Cộng $1$ và $1$ .

$2 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 11

Kết hợp $2$ và $\frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$ .

$\frac{2 ((3 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 (3 \cos (x) + \cos (x) \cos (x) + \sin^{2} (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 12.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 (3 \cos (x)) + 2 (\cos (x) \cos (x)) + 2 \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 12.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1.1

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{6 \cos (x) + 2 (\cos (x) \cos (x)) + 2 \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 12.3.1.2

Nhân $\cos (x) \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1.2.1

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{6 \cos (x) + 2 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 2 \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 12.3.1.2.2

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{6 \cos (x) + 2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 2 \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 12.3.1.2.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{6 \cos (x) + 2 {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 12.3.1.2.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{6 \cos (x) + 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 12.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{6 \cos (x) + 2 (\cos^{2} (x)) + 2 \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 12.3.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{6 \cos (x) + 2 (\cos^{2} (x)) + 2 (\sin^{2} (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 12.3.4

Đưa $2$ ra ngoài $2 (\cos^{2} (x)) + 2 (\sin^{2} (x))$ .

$\frac{6 \cos (x) + 2 (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 12.3.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{6 \cos (x) + 2 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 12.3.6

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\frac{6 \cos (x) + 2 \cdot 1}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 12.3.7

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{6 \cos (x) + 2}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 12.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{2 + 6 \cos (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 12.5

Đưa $2$ ra ngoài $2 + 6 \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (1) + 6 \cos (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 12.5.2

Đưa $2$ ra ngoài $6 \cos (x)$ .

$\frac{2 (1) + 2 (3 \cos (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 12.5.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (1) + 2 (3 \cos (x))$ .

$\frac{2 (1 + 3 \cos (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$