Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{360}{1 + 11000 e^{- 2.3 x}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Vì $360$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{360}{1 + 11000 e^{- 2.3 x}}$ đối với $x$ là $360 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + 11000 e^{- 2.3 x}}]$ .

$360 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + 11000 e^{- 2.3 x}}]$

Bước 1.2

Viết lại $\frac{1}{1 + 11000 e^{- 2.3 x}}$ ở dạng ${(1 + 11000 e^{- 2.3 x})}^{- 1}$ .

$360 \frac{d}{d x} [{(1 + 11000 e^{- 2.3 x})}^{- 1}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = 1 + 11000 e^{- 2.3 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $1 + 11000 e^{- 2.3 x}$ .

$360 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + 11000 e^{- 2.3 x}])$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$360 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 11000 e^{- 2.3 x}])$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $1 + 11000 e^{- 2.3 x}$ .

$360 (- {(1 + 11000 e^{- 2.3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 11000 e^{- 2.3 x}])$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $- 1$ với $360$ .

$- 360 ({(1 + 11000 e^{- 2.3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 11000 e^{- 2.3 x}])$

Bước 3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + 11000 e^{- 2.3 x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [11000 e^{- 2.3 x}]$ .

$- 360 {(1 + 11000 e^{- 2.3 x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [11000 e^{- 2.3 x}])$

Bước 3.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$- 360 {(1 + 11000 e^{- 2.3 x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [11000 e^{- 2.3 x}])$

Bước 3.4

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [11000 e^{- 2.3 x}]$ .

$- 360 {(1 + 11000 e^{- 2.3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [11000 e^{- 2.3 x}]$

Bước 3.5

Vì $11000$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $11000 e^{- 2.3 x}$ đối với $x$ là $11000 \frac{d}{d x} [e^{- 2.3 x}]$ .

$- 360 {(1 + 11000 e^{- 2.3 x})}^{- 2} (11000 \frac{d}{d x} [e^{- 2.3 x}])$

Bước 3.6

Nhân $11000$ với $- 360$ .

$- 3960000 {(1 + 11000 e^{- 2.3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{- 2.3 x}]$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - 2.3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $- 2.3 x$ .

$- 3960000 {(1 + 11000 e^{- 2.3 x})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 2.3 x])$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$- 3960000 {(1 + 11000 e^{- 2.3 x})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 2.3 x])$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $- 2.3 x$ .

$- 3960000 {(1 + 11000 e^{- 2.3 x})}^{- 2} (e^{- 2.3 x} \frac{d}{d x} [- 2.3 x])$

Bước 5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $- 2.3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2.3 x$ đối với $x$ là $- 2.3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3960000 {(1 + 11000 e^{- 2.3 x})}^{- 2} (e^{- 2.3 x} (- 2.3 \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 5.2

Nhân $- 2.3$ với $- 3960000$ .

$9108000 {(1 + 11000 e^{- 2.3 x})}^{- 2} (e^{- 2.3 x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Bước 5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$9108000 {(1 + 11000 e^{- 2.3 x})}^{- 2} (e^{- 2.3 x} \cdot 1)$

Bước 5.4

Nhân $e^{- 2.3 x}$ với $1$ .

$9108000 {(1 + 11000 e^{- 2.3 x})}^{- 2} e^{- 2.3 x}$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Sắp xếp lại các thừa số của $9108000 {(1 + 11000 e^{- 2.3 x})}^{- 2} e^{- 2.3 x}$ .

$9108000 e^{- 2.3 x} {(1 + 11000 e^{- 2.3 x})}^{- 2}$

Bước 6.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9108000 e^{- 2.3 x} \frac{1}{{(1 + 11000 e^{- 2.3 x})}^{2}}$

Bước 6.3

Nhân $9108000 e^{- 2.3 x} \frac{1}{{(1 + 11000 e^{- 2.3 x})}^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Kết hợp $\frac{1}{{(1 + 11000 e^{- 2.3 x})}^{2}}$ và $9108000$ .

$\frac{9108000}{{(1 + 11000 e^{- 2.3 x})}^{2}} e^{- 2.3 x}$

Bước 6.3.2

Kết hợp $\frac{9108000}{{(1 + 11000 e^{- 2.3 x})}^{2}}$ và $e^{- 2.3 x}$ .

$\frac{9108000 e^{- 2.3 x}}{{(1 + 11000 e^{- 2.3 x})}^{2}}$