Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{3}{x + 2} - \sqrt{x - 3}$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{3}{x + 2} - \sqrt{x - 3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x + 2}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x + 2}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x + 2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{3}{x + 2}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 2}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$

Bước 2.2

Viết lại $\frac{1}{x + 2}$ ở dạng ${(x + 2)}^{- 1}$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x + 2$ .

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$3 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$

Bước 2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x + 2$ .

$3 (- {(x + 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$

Bước 2.4

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$3 (- {(x + 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 (- {(x + 2)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [2])) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$

Bước 2.6

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$3 (- {(x + 2)}^{- 2} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$

Bước 2.7

Cộng $1$ và $0$ .

$3 (- {(x + 2)}^{- 2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$

Bước 2.8

Nhân $- 1$ với $1$ .

$3 (- {(x + 2)}^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$

Bước 2.9

Nhân $- 1$ với $3$ .

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x - 3}$ ở dạng ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} + \frac{d}{d x} [- {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = x - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x - 3$ .

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 3])$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Bước 3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x - 3$ .

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Bước 3.4

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]))$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 3]))$

Bước 3.6

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0))$

Bước 3.7

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0))$

Bước 3.8

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))$

Bước 3.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))$

Bước 3.10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0))$

Bước 3.10.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0))$

Bước 3.11

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0))$

Bước 3.12

Cộng $1$ và $0$ .

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1)$

Bước 3.13

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - (\frac{{(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1)$

Bước 3.14

Nhân $\frac{{(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ với $1$ .

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - \frac{{(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 3.15

Di chuyển ${(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{{(x + 2)}^{2}} - \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{{(x + 2)}^{2}}$ .

$\frac{- 3}{{(x + 2)}^{2}} - \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{3}{{(x + 2)}^{2}} - \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$