Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{4 t}{3 \sqrt{t - 2}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{t - 2}$ ở dạng ${(t - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{4 t}{3 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 1.2

Vì $\frac{4}{3}$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $\frac{4 t}{3 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ đối với $t$ là $\frac{4}{3} \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{4}{3} \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ là $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ trong đó $f (t) = t$ và $g (t) = {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(t - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 3

Nhân các số mũ trong ${({(t - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{\frac{1}{2}}]}{{(t - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{\frac{1}{2}}]}{{(t - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 3.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{\frac{1}{2}}]}{{(t - 2)}^{1}}$

Bước 4

Rút gọn.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{\frac{1}{2}}]}{t - 2}$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{\frac{1}{2}}]}{t - 2}$

Bước 5.2

Nhân ${(t - 2)}^{\frac{1}{2}}$ với $1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - t \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{\frac{1}{2}}]}{t - 2}$

Bước 6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ và $g (t) = t - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $t - 2$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [t - 2])}{t - 2}$

Bước 6.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t - 2])}{t - 2}$

Bước 6.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $t - 2$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t - 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t - 2])}{t - 2}$

Bước 7

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t - 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [t - 2])}{t - 2}$

Bước 8

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t - 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t - 2])}{t - 2}$

Bước 9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t - 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t - 2])}{t - 2}$

Bước 10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t - 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [t - 2])}{t - 2}$

Bước 10.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t - 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [t - 2])}{t - 2}$

Bước 11

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t - 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t - 2])}{t - 2}$

Bước 11.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(t - 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{{(t - 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [t - 2])}{t - 2}$

Bước 11.3

Di chuyển ${(t - 2)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t - 2])}{t - 2}$

Bước 11.4

Kết hợp $\frac{1}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ và $t$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t - 2]}{t - 2}$

Bước 12

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $t - 2$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2])}{t - 2}$

Bước 13

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d t} [- 2])}{t - 2}$

Bước 14

Vì $- 2$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $t$ là $0$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)}{t - 2}$

Bước 15

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}{t - 2}$

Bước 15.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t - 2}$

Bước 16

Để viết ${(t - 2)}^{\frac{1}{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t - 2}$

Bước 17

Kết hợp ${(t - 2)}^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t - 2}$

Bước 18

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}) - t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t - 2}$

Bước 19

Nhân ${(t - 2)}^{\frac{1}{2}}$ với ${(t - 2)}^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1

Di chuyển ${(t - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} {(t - 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t - 2}$

Bước 19.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t - 2}$

Bước 19.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(t - 2)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t - 2}$

Bước 19.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(t - 2)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t - 2}$

Bước 19.5

Chia $2$ cho $2$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(t - 2)}^{1} \cdot 2 - t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t - 2}$

Bước 20

Rút gọn ${(t - 2)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{(t - 2) \cdot 2 - t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t - 2}$

Bước 21

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $t - 2$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{2 \cdot (t - 2) - t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t - 2}$

Bước 22

Viết lại $\frac{\frac{2 (t - 2) - t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t - 2}$ ở dạng một tích.

$\frac{4}{3} (\frac{2 (t - 2) - t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{t - 2})$

Bước 23

Nhân $\frac{2 (t - 2) - t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ với $\frac{1}{t - 2}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{2 (t - 2) - t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}} (t - 2)}$

Bước 24

Nâng $t - 2$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{2 (t - 2) - t}{2 ({(t - 2)}^{1} {(t - 2)}^{\frac{1}{2}})}$

Bước 25

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{2 (t - 2) - t}{2 {(t - 2)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Bước 26

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 26.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{2 (t - 2) - t}{2 {(t - 2)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Bước 26.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{2 (t - 2) - t}{2 {(t - 2)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Bước 26.3

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{2 (t - 2) - t}{2 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 27

Nhân $\frac{4}{3}$ với $\frac{2 (t - 2) - t}{2 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{4 (2 (t - 2) - t)}{3 (2 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}})}$

Bước 28

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{4 (2 (t - 2) - t)}{6 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 29

Đưa $2$ ra ngoài $4 (2 (t - 2) - t)$ .

$\frac{2 (2 (2 (t - 2) - t))}{6 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 30

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 30.1

Đưa $2$ ra ngoài $6 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (2 (2 (t - 2) - t))}{2 (3 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}})}$

Bước 30.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (2 (2 (t - 2) - t))}{2 (3 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}})}$

Bước 30.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 (2 (t - 2) - t)}{3 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 31

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 31.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 (2 t + 2 \cdot - 2 - t)}{3 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 31.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 (2 t) + 2 (2 \cdot - 2) + 2 (- t)}{3 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 31.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 31.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 31.3.1.1

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{4 t + 2 (2 \cdot - 2) + 2 (- t)}{3 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 31.3.1.2

Nhân $2 (2 \cdot - 2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 31.3.1.2.1

Nhân $2$ với $- 2$ .

$\frac{4 t + 2 \cdot - 4 + 2 (- t)}{3 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 31.3.1.2.2

Nhân $2$ với $- 4$ .

$\frac{4 t - 8 + 2 (- t)}{3 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 31.3.1.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{4 t - 8 - 2 t}{3 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 31.3.2

Trừ $2 t$ khỏi $4 t$ .

$\frac{2 t - 8}{3 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 31.4

Đưa $2$ ra ngoài $2 t - 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 31.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 t$ .

$\frac{2 (t) - 8}{3 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 31.4.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 8$ .

$\frac{2 t + 2 \cdot - 4}{3 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 31.4.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 t + 2 \cdot - 4$ .

$\frac{2 (t - 4)}{3 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}}}$