Giải tích Ví dụ

$f (x) = 4 \sqrt{x} \sin (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2}} \sin (x)]$

Bước 1.2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{\frac{1}{2}} \sin (x)$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \sin (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \sin (x)]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = \sin (x)$ .

$4 (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Bước 3

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$4 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Bước 5

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$4 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Bước 6

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$4 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Bước 7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$4 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Bước 8

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$4 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Bước 8.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$4 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Bước 9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$4 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Bước 10

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Bước 11

Kết hợp $\sin (x)$ và $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$4 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \frac{\sin (x) x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Bước 12

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \frac{\sin (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Bước 13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x)) + 4 \frac{\sin (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 13.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Kết hợp $4$ và $\frac{\sin (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \frac{4 \sin (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 13.2.2

Đưa $2$ ra ngoài $4 \sin (x)$ .

$4 x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \frac{2 (2 \sin (x))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 13.2.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \frac{2 (2 \sin (x))}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Bước 13.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \frac{2 (2 \sin (x))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 13.2.3.3

Viết lại biểu thức.

$4 x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \frac{2 \sin (x)}{x^{\frac{1}{2}}}$