Giải tích Ví dụ

$f (x) = 4 x^{2} \ln (4 x)$

Bước 1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{2} \ln (4 x)$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (4 x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (4 x)]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \ln (4 x)$ .

$4 (x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (4 x)] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = 4 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $4 x$ .

$4 (x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x]) + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 3.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x]) + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 x$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp $\frac{1}{4 x}$ và $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 4.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$4 (\frac{x \cdot x}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 4.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $4 x$ .

$4 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 4} \frac{d}{d x} [4 x] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 4.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 4} \frac{d}{d x} [4 x] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 4.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$4 (\frac{x}{4} \frac{d}{d x} [4 x] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 4.3

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (\frac{x}{4} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 4.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Kết hợp $4$ và $\frac{x}{4}$ .

$4 (\frac{4 x}{4} \frac{d}{d x} [x] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 4.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 (\frac{4 x}{4} \frac{d}{d x} [x] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 4.4.2.2

Chia $x$ cho $1$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [x] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 4.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 (x \cdot 1 + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 4.6

Nhân $x$ với $1$ .

$4 (x + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 4.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$4 (x + \ln (4 x) (2 x))$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 x + 4 (\ln (4 x) (2 x))$

Bước 5.2

Nhân $2$ với $4$ .

$4 x + 8 \ln (4 x) x$

Bước 5.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$8 x \ln (4 x) + 4 x$