Giải tích Ví dụ

$f (x) = 4 x^{2} + \frac{12}{\sqrt{x^{3}}} + 3$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x^{2} + \frac{12}{\sqrt{x^{3}}} + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{12}{\sqrt{x^{3}}}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{12}{\sqrt{x^{3}}}] + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{2}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{12}{\sqrt{x^{3}}}] + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{12}{\sqrt{x^{3}}}] + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 2.3

Nhân $2$ với $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [\frac{12}{\sqrt{x^{3}}}] + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{12}{\sqrt{x^{3}}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x^{3}}$ ở dạng $x^{\frac{3}{2}}$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [\frac{12}{x^{\frac{3}{2}}}] + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 3.2

Vì $12$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{12}{x^{\frac{3}{2}}}$ đối với $x$ là $12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$ .

$8 x + 12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}] + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 3.3

Viết lại $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ ở dạng ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

$8 x + 12 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{\frac{3}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{\frac{3}{2}}$ .

$8 x + 12 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]) + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 3.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$8 x + 12 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]) + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 3.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{\frac{3}{2}}$ .

$8 x + 12 (- {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]) + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{3}{2}$ .

$8 x + 12 (- {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 2} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 3.6

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x + 12 (- x^{\frac{3}{2} \cdot - 2} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 3.6.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$8 x + 12 (- x^{\frac{3}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 3.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$8 x + 12 (- x^{\frac{3}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 3.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$8 x + 12 (- x^{3 \cdot - 1} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 3.6.3

Nhân $3$ với $- 1$ .

$8 x + 12 (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 3.7

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$8 x + 12 (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 3.8

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$8 x + 12 (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 3.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$8 x + 12 (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 3.10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$8 x + 12 (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 3.10.2

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$8 x + 12 (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})) + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 3.11

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $x^{\frac{1}{2}}$ .

$8 x + 12 (- x^{- 3} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 3.12

Kết hợp $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ và $x^{- 3}$ .

$8 x + 12 (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}} x^{- 3}}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 3.13

Nhân $x^{\frac{1}{2}}$ với $x^{- 3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.13.1

Di chuyển $x^{- 3}$ .

$8 x + 12 (- \frac{3 (x^{- 3} x^{\frac{1}{2}})}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 3.13.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$8 x + 12 (- \frac{3 x^{- 3 + \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 3.13.3

Để viết $- 3$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$8 x + 12 (- \frac{3 x^{- 3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 3.13.4

Kết hợp $- 3$ và $\frac{2}{2}$ .

$8 x + 12 (- \frac{3 x^{\frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 3.13.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$8 x + 12 (- \frac{3 x^{\frac{- 3 \cdot 2 + 1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 3.13.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.13.6.1

Nhân $- 3$ với $2$ .

$8 x + 12 (- \frac{3 x^{\frac{- 6 + 1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 3.13.6.2

Cộng $- 6$ và $1$ .

$8 x + 12 (- \frac{3 x^{\frac{- 5}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 3.13.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$8 x + 12 (- \frac{3 x^{- \frac{5}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 3.14

Di chuyển $x^{- \frac{5}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 x + 12 (- \frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}}) + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 3.15

Nhân $- 1$ với $12$ .

$8 x - 12 \frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 3.16

Kết hợp $- 12$ và $\frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}}$ .

$8 x + \frac{- 12 \cdot 3}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 3.17

Nhân $- 12$ với $3$ .

$8 x + \frac{- 36}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 3.18

Đưa $2$ ra ngoài $- 36$ .

$8 x + \frac{2 \cdot - 18}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 3.19

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.19.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{\frac{5}{2}}$ .

$8 x + \frac{2 \cdot - 18}{2 (x^{\frac{5}{2}})} + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 3.19.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$8 x + \frac{2 \cdot - 18}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 3.19.3

Viết lại biểu thức.

$8 x + \frac{- 18}{x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 3.20

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$8 x - \frac{18}{x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$8 x - \frac{18}{x^{\frac{5}{2}}} + 0$

Bước 4.2

Cộng $8 x - \frac{18}{x^{\frac{5}{2}}}$ và $0$ .

$8 x - \frac{18}{x^{\frac{5}{2}}}$