Giải tích Ví dụ

$f (x) = 5 x^{2} \cos (3 x)$

Bước 1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x^{2} \cos (3 x)$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (3 x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (3 x)]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \cos (3 x)$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $3 x$ .

$5 (x^{2} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 3.2

Đạo hàm của $\cos (u)$ đối với $u$ là $- \sin (u)$ .

$5 (x^{2} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [3 x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 x$ .

$5 (x^{2} (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (x^{2} (- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 4.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$5 (x^{2} (- 3 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$5 (x^{2} (- 3 \sin (3 x) \cdot 1) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 4.4

Nhân $- 3$ với $1$ .

$5 (x^{2} (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 4.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$5 (x^{2} (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) (2 x))$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$5 (x^{2} (- 3 \sin (3 x))) + 5 (\cos (3 x) (2 x))$

Bước 5.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nhân $- 3$ với $5$ .

$- 15 (x^{2} (\sin (3 x))) + 5 (\cos (3 x) (2 x))$

Bước 5.2.2

Nhân $2$ với $5$ .

$- 15 x^{2} \sin (3 x) + 10 \cos (3 x) x$

Bước 5.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 15 x^{2} \sin (3 x) + 10 x \cos (3 x)$