Giải tích Ví dụ

$f (x) = \cos (3 x) \ln (x^{4})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \cos (3 x)$ và $g (x) = \ln (x^{4})$ .

$\cos (3 x) \frac{d}{d x} [\ln (x^{4})] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x^{4}$ .

$\cos (3 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\cos (3 x) (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{4}$ .

$\cos (3 x) (\frac{1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp $\frac{1}{x^{4}}$ và $\cos (3 x)$ .

$\frac{\cos (3 x)}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$\frac{\cos (3 x)}{x^{4}} (4 x^{3}) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Bước 3.3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Kết hợp $4$ và $\frac{\cos (3 x)}{x^{4}}$ .

$\frac{4 \cos (3 x)}{x^{4}} x^{3} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Bước 3.3.2

Kết hợp $\frac{4 \cos (3 x)}{x^{4}}$ và $x^{3}$ .

$\frac{4 \cos (3 x) x^{3}}{x^{4}} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Bước 3.3.3

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{3}$ và $x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Đưa $x^{3}$ ra ngoài $4 \cos (3 x) x^{3}$ .

$\frac{x^{3} (4 \cos (3 x))}{x^{4}} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Bước 3.3.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.2.1

Đưa $x^{3}$ ra ngoài $x^{4}$ .

$\frac{x^{3} (4 \cos (3 x))}{x^{3} x} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Bước 3.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{3} (4 \cos (3 x))}{x^{3} x} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Bước 3.3.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{4 \cos (3 x)}{x} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $3 x$ .

$\frac{4 \cos (3 x)}{x} + \ln (x^{4}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Bước 4.2

Đạo hàm của $\cos (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{4 \cos (3 x)}{x} + \ln (x^{4}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $3 x$ .

$\frac{4 \cos (3 x)}{x} + \ln (x^{4}) (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Bước 5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 \cos (3 x)}{x} + \ln (x^{4}) (- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 5.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{4 \cos (3 x)}{x} + \ln (x^{4}) (- 3 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{4 \cos (3 x)}{x} + \ln (x^{4}) (- 3 \sin (3 x) \cdot 1)$

Bước 5.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Nhân $- 3$ với $1$ .

$\frac{4 \cos (3 x)}{x} + \ln (x^{4}) (- 3 \sin (3 x))$

Bước 5.4.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 3 \sin (3 x) \ln (x^{4}) + \frac{4 \cos (3 x)}{x}$