Giải tích Ví dụ

$f (x) = arccsc (2 x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = arccsc (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [arccsc (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $arccsc (u)$ đối với $u$ là $- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ .

$- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$- \frac{1}{2 x \sqrt{{(2 x)}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$- \frac{1}{2 x \sqrt{{(2 (x))}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 (x)$ .

$- \frac{1}{2 x \sqrt{2^{2} x^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 2.2.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$- \frac{1}{2 x \sqrt{4 x^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 2.3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{2 x \sqrt{4 x^{2} - 1}} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 \frac{1}{2 x \sqrt{4 x^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.4.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{2 x \sqrt{4 x^{2} - 1}}$ .

$\frac{- 2}{2 x \sqrt{4 x^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.4.3

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 x \sqrt{4 x^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.4.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x \sqrt{4 x^{2} - 1}$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (x \sqrt{4 x^{2} - 1})} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.4.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (x \sqrt{4 x^{2} - 1})} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.4.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 1}{x \sqrt{4 x^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.4.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{x \sqrt{4 x^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \frac{1}{x \sqrt{4 x^{2} - 1}} \cdot 1$

Bước 2.6

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \frac{1}{x \sqrt{4 x^{2} - 1}}$