Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$

Bước 1

Viết $f (x) = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$ ở dạng một phương trình.

$y = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \frac{1}{2} \cdot e^{y + 1} - 2$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{1}{2} \cdot e^{y + 1} - 2 = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot e^{y + 1} - 2 = x$

Bước 3.2

Rút gọn $\frac{1}{2} \cdot e^{y + 1} - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $e^{y + 1}$ .

$\frac{e^{y + 1}}{2} - 2 = x$

Bước 3.2.2

Để viết $- 2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{y + 1}}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2} = x$

Bước 3.2.3

Kết hợp $- 2$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{y + 1}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} = x$

Bước 3.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{e^{y + 1} - 2 \cdot 2}{2} = x$

Bước 3.2.5

Nhân $- 2$ với $2$ .

$\frac{e^{y + 1} - 4}{2} = x$

Bước 3.3

Nhân cả hai vế của phương trình với $2$ .

$2 \frac{e^{y + 1} - 4}{2} = 2 x$

Bước 3.4

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{e^{y + 1} - 4}{2} = 2 x$

Bước 3.4.1.2

Viết lại biểu thức.

$e^{y + 1} - 4 = 2 x$

Bước 3.5

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$e^{y + 1} = 2 x + 4$

Bước 3.6

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{y + 1}) = \ln (2 x + 4)$

Bước 3.7

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Khai triển $\ln (e^{y + 1})$ bằng cách di chuyển $y + 1$ ra bên ngoài lôgarit.

$(y + 1) \ln (e) = \ln (2 x + 4)$

Bước 3.7.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$(y + 1) \cdot 1 = \ln (2 x + 4)$

Bước 3.7.3

Nhân $y + 1$ với $1$ .

$y + 1 = \ln (2 x + 4)$

Bước 3.8

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y = \ln (2 x + 4) - 1$

Bước 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (2 x + 4) - 1$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \ln (2 x + 4) - 1$ có là hàm ngược của $f (x) = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2)$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) + 4) - 1$

Bước 5.2.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $e^{x + 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1}}{2} - 2) + 4) - 1$

Bước 5.2.3.1.2

Để viết $- 2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1}}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) + 4) - 1$

Bước 5.2.3.1.3

Kết hợp $- 2$ và $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) + 4) - 1$

Bước 5.2.3.1.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1} - 2 \cdot 2}{2}) + 4) - 1$

Bước 5.2.3.1.5

Nhân $- 2$ với $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1} - 4}{2}) + 4) - 1$

Bước 5.2.3.1.6

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1} - 4}{2}) + 4) - 1$

Bước 5.2.3.1.6.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (e^{x + 1} - 4 + 4) - 1$

Bước 5.2.3.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $e^{x + 1} - 4 + 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.2.1

Cộng $- 4$ và $4$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (e^{x + 1} + 0) - 1$

Bước 5.2.3.2.2

Cộng $e^{x + 1}$ và $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (e^{x + 1}) - 1$

Bước 5.2.3.3

Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển $x + 1$ ra khỏi số mũ.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = (x + 1) \ln (e) - 1$

Bước 5.2.3.4

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = (x + 1) \cdot 1 - 1$

Bước 5.2.3.5

Nhân $x + 1$ với $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = x + 1 - 1$

Bước 5.2.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x + 1 - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = x + 0$

Bước 5.2.4.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\ln (2 x + 4) - 1)$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot e^{(\ln (2 x + 4) - 1) + 1} - 2$

Bước 5.3.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $\frac{1}{2} \cdot e^{(\ln (2 x + 4) - 1) + 1} - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Cộng $- 1$ và $1$ .

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot e^{\ln (2 x + 4) + 0} - 2$

Bước 5.3.3.2

Cộng $\ln (2 x + 4)$ và $0$ .

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot e^{\ln (2 x + 4)} - 2$

Bước 5.3.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 x + 4) - 2$

Bước 5.3.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{1}{2} \cdot 4 - 2$

Bước 5.3.4.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x)) + \frac{1}{2} \cdot 4 - 2$

Bước 5.3.4.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{1}{2} \cdot 4 - 2$

Bước 5.3.4.3.3

Viết lại biểu thức.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + \frac{1}{2} \cdot 4 - 2$

Bước 5.3.4.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + \frac{1}{2} \cdot (2 (2)) - 2$

Bước 5.3.4.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) - 2$

Bước 5.3.4.4.3

Viết lại biểu thức.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + 2 - 2$

Bước 5.3.5

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x + 2 - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.1

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + 0$

Bước 5.3.5.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \ln (2 x + 4) - 1$ là hàm ngược của $f (x) = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (2 x + 4) - 1$