Giải tích Ví dụ

$f (x) = \cot (- x) + \sec (π x)$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\cot (- x) + \sec (π x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\cot (- x)] + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cot (- x)] + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [\cot (- x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cot (x)$ và $g (x) = - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $- x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cot (u_{1})] \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$

Bước 2.1.2

Đạo hàm của $\cot (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $- \csc^{2} (u_{1})$ .

$- \csc^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $- x$ .

$- \csc^{2} (- x) \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$

Bước 2.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \csc^{2} (- x) (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \csc^{2} (- x) (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$

Bước 2.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \csc^{2} (- x) \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$

Bước 2.5

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 \csc^{2} (- x) + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$

Bước 2.6

Nhân $\csc^{2} (- x)$ với $1$ .

$\csc^{2} (- x) + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [\sec (π x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sec (x)$ và $g (x) = π x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $π x$ .

$\csc^{2} (- x) + \frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [π x]$

Bước 3.1.2

Đạo hàm của $\sec (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\csc^{2} (- x) + \sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [π x]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $π x$ .

$\csc^{2} (- x) + \sec (π x) \tan (π x) \frac{d}{d x} [π x]$

Bước 3.2

Vì $π$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $π x$ đối với $x$ là $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$\csc^{2} (- x) + \sec (π x) \tan (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\csc^{2} (- x) + \sec (π x) \tan (π x) (π \cdot 1)$

Bước 3.4

Nhân $π$ với $1$ .

$\csc^{2} (- x) + \sec (π x) \tan (π x) π$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$π \sec (π x) \tan (π x) + \csc^{2} (- x)$

Bước 4.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Vì $\csc (- x)$ là một hàm lẻ, nên viết lại $\csc (- x)$ ở dạng $- \csc (x)$ .

$π \sec (π x) \tan (π x) + {(- \csc (x))}^{2}$

Bước 4.2.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \csc (x)$ .

$π \sec (π x) \tan (π x) + {(- 1)}^{2} \csc^{2} (x)$

Bước 4.2.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$π \sec (π x) \tan (π x) + 1 \csc^{2} (x)$

Bước 4.2.4

Nhân $\csc^{2} (x)$ với $1$ .

$π \sec (π x) \tan (π x) + \csc^{2} (x)$