Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} - x^{2}$

Bước 1

Nhân để trục căn thức ở tử.

$lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} - x^{2}) (\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} + x^{2})}{\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} + x^{2}}$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Khai triển tử số bằng phương pháp FOIL.

$lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}}}^{2} + \sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} x^{2} + \sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} (- x^{2}) - x^{4}}{\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} + x^{2}}$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Trừ $x^{4}$ khỏi $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{2} + 0}{\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} + x^{2}}$

Bước 2.2.2

Cộng $- 5 x^{2}$ và $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{2}}{\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} + x^{2}}$

Bước 3

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{4} - 5 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{2}}{\sqrt{x^{2} x^{2} - 5 x^{2}} + x^{2}}$

Bước 3.1.1.2

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $- 5 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{2}}{\sqrt{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 5} + x^{2}}$

Bước 3.1.1.3

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{2}}{\sqrt{x^{2} (x^{2} - 5)} + x^{2}}$

Bước 3.1.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{2}}{x \sqrt{x^{2} - 5} + x^{2}}$

Bước 3.2

Chuyển số hạng $- 5$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{x \sqrt{x^{2} - 5} + x^{2}}$

Bước 4

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $x$ trong mẫu số, chính là $x^{2}$ .

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x \sqrt{x^{2} - 5}}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Bước 5

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x \sqrt{x^{2} - 5}}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Bước 5.1.2

Viết lại biểu thức.

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x \sqrt{x^{2} - 5}}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Bước 5.2

Rút gọn mỗi số hạng.

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{x} + 1}$

Bước 5.3

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$- 5 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{x} + 1}$

Bước 5.4

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{x} + 1}$

Bước 5.5

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{x} + lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 6

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $x$ trong mẫu số, chính là $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}}{\frac{x}{x}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 7

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 7.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 7.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{- 5}{x^{2}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 7.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1 - \frac{5}{x^{2}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 7.3

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 - \frac{5}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 7.4

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{5}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 7.5

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 7.6

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{1 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 7.7

Chuyển số hạng $5$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{1 - 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 8

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{2}}$ tiến dần đến $0$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{1 - 5 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 9

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{1 - 5 \cdot 0}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 9.2

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{1 - 5 \cdot 0}}{1} + 1}$

Bước 9.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Chia $\sqrt{1 - 5 \cdot 0}$ cho $1$ .

$- 5 \frac{1}{\sqrt{1 - 5 \cdot 0} + 1}$

Bước 9.3.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.2.1

Nhân $- 5$ với $0$ .

$- 5 \frac{1}{\sqrt{1 + 0} + 1}$

Bước 9.3.2.2

Cộng $1$ và $0$ .

$- 5 \frac{1}{\sqrt{1} + 1}$

Bước 9.3.2.3

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$- 5 \frac{1}{1 + 1}$

Bước 9.3.2.4

Cộng $1$ và $1$ .

$- 5 (\frac{1}{2})$

Bước 9.3.3

Kết hợp $- 5$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 5}{2}$

Bước 9.3.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{5}{2}$

Bước 10

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{5}{2}$

Dạng thập phân:

$- 2.5$