Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1 + \tan (x)}{\csc (x) + 2}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\frac{π}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 + \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc (x) + 2}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\frac{π}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 + lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc (x) + 2}$

Bước 3

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1 + lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc (x) + 2}$

Bước 4

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì tang liên tục.

$\frac{1 + \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc (x) + 2}$

Bước 5

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1 + \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc (x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} 2}$

Bước 6

Di chuyển giới hạn vào bên trong hàm lượng giác vì cosecant liên tục.

$\frac{1 + \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\csc (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} 2}$

Bước 7

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1 + \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\csc (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + 2}$

Bước 8

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $\frac{π}{4}$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\frac{π}{4}$ cho $x$ .

$\frac{1 + \tan (\frac{π}{4})}{\csc (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + 2}$

Bước 8.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\frac{π}{4}$ cho $x$ .

$\frac{1 + \tan (\frac{π}{4})}{\csc (\frac{π}{4}) + 2}$

Bước 9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Giá trị chính xác của $\tan (\frac{π}{4})$ là $1$ .

$\frac{1 + 1}{\csc (\frac{π}{4}) + 2}$

Bước 9.1.2

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{2}{\csc (\frac{π}{4}) + 2}$

Bước 9.2

Giá trị chính xác của $\csc (\frac{π}{4})$ là $\sqrt{2}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2} + 2}$

Bước 9.3

Nhân $\frac{2}{\sqrt{2} + 2}$ với $\frac{\sqrt{2} - 2}{\sqrt{2} - 2}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2} + 2} \cdot \frac{\sqrt{2} - 2}{\sqrt{2} - 2}$

Bước 9.4

Nhân $\frac{2}{\sqrt{2} + 2}$ với $\frac{\sqrt{2} - 2}{\sqrt{2} - 2}$ .

$\frac{2 (\sqrt{2} - 2)}{(\sqrt{2} + 2) (\sqrt{2} - 2)}$

Bước 9.5

Khai triển mẫu số bằng cách sử dụng phương pháp FOIL.

$\frac{2 (\sqrt{2} - 2)}{{\sqrt{2}}^{2} + \sqrt{2} \cdot - 2 + 2 \sqrt{2} - 4}$

Bước 9.6

Rút gọn.

$\frac{2 (\sqrt{2} - 2)}{- 2}$

Bước 9.7

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{\sqrt{2} - 2}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (\sqrt{2} - 2)$

Bước 9.8

Viết lại $- 1 \cdot (\sqrt{2} - 2)$ ở dạng $- (\sqrt{2} - 2)$ .

$- (\sqrt{2} - 2)$

Bước 9.9

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \sqrt{2} - - 2$

Bước 9.10

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$- \sqrt{2} + 2$

Bước 10

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \sqrt{2} + 2$

Dạng thập phân:

$0.58578643 \dots$