Giải tích Ví dụ

$\frac{1}{3} \cdot (\sqrt{y} (y - 3))$

Bước 1

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Kết hợp $\sqrt{y}$ và $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{y}}{3} \cdot (y - 3)]$

Bước 1.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{y}$ ở dạng $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} (y - 3)]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ là $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ trong đó $f (y) = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{3}$ và $g (y) = y - 3$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} \frac{d}{d y} [y - 3] + (y - 3) \frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y - 3$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]) + (y - 3) \frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} (1 + \frac{d}{d y} [- 3]) + (y - 3) \frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3}]$

Bước 3.3

Vì $- 3$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} (1 + 0) + (y - 3) \frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3}]$

Bước 3.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} \cdot 1 + (y - 3) \frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3}]$

Bước 3.4.2

Nhân $\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3}$ với $1$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} + (y - 3) \frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3}]$

Bước 3.5

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3}$ đối với $y$ là $\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} + (y - 3) (\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}])$

Bước 3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} + (y - 3) \frac{1}{3} (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1})$

Bước 4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} + (y - 3) \frac{1}{3} (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} + (y - 3) \frac{1}{3} (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} + (y - 3) \frac{1}{3} (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} + (y - 3) \frac{1}{3} (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}})$

Bước 7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} + (y - 3) \frac{1}{3} (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}})$

Bước 8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} + (y - 3) \frac{1}{3} (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}})$

Bước 9

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} + (y - 3) \frac{1}{3} \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 10

Nhân $\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ với $\frac{1}{3}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} + (y - 3) \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 3}$

Bước 11

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} + (y - 3) \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{6}$

Bước 11.2

Di chuyển $y^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} + (y - 3) \frac{1}{6 y^{\frac{1}{2}}}$

Bước 12

Để viết $(y - 3) \frac{1}{6 y^{\frac{1}{2}}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} + (y - 3) \frac{1}{6 y^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{3}{3}$

Bước 13

Kết hợp $(y - 3) \frac{1}{6 y^{\frac{1}{2}}}$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{(y - 3) \frac{1}{6 y^{\frac{1}{2}}} \cdot 3}{3}$

Bước 14

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{y^{\frac{1}{2}} + (y - 3) \frac{1}{6 y^{\frac{1}{2}}} \cdot 3}{3}$

Bước 15

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{6 y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}} + (y - 3) \frac{3}{6 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

Bước 16

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}} + (y - 3) \frac{3 (1)}{6 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

Bước 17

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Đưa $3$ ra ngoài $6 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}} + (y - 3) \frac{3 (1)}{3 (2 y^{\frac{1}{2}})}}{3}$

Bước 17.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y^{\frac{1}{2}} + (y - 3) \frac{3 \cdot 1}{3 (2 y^{\frac{1}{2}})}}{3}$

Bước 17.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{y^{\frac{1}{2}} + (y - 3) \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

Bước 18

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{y^{\frac{1}{2}} + y \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

Bước 18.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.2.1.1

Kết hợp $y$ và $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}} + \frac{y}{2 y^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

Bước 18.2.1.2

Di chuyển $y^{\frac{1}{2}}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}} + \frac{y \cdot y^{- \frac{1}{2}}}{2} - 3 \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

Bước 18.2.1.3

Nhân $y$ với $y^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.2.1.3.1

Nhân $y$ với $y^{- \frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.2.1.3.1.1

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}} + \frac{y^{1} y^{- \frac{1}{2}}}{2} - 3 \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

Bước 18.2.1.3.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{y^{\frac{1}{2}} + \frac{y^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - 3 \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

Bước 18.2.1.3.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{y^{\frac{1}{2}} + \frac{y^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 3 \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

Bước 18.2.1.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{y^{\frac{1}{2}} + \frac{y^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - 3 \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

Bước 18.2.1.3.4

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - 3 \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

Bước 18.2.1.4

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 3}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

Bước 18.2.1.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{y^{\frac{1}{2}} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

Bước 18.2.2

Để viết $y^{\frac{1}{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

Bước 18.2.3

Kết hợp $y^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

Bước 18.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

Bước 18.2.5

Cộng $y^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ và $y^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.2.5.1

Sắp xếp lại $y^{\frac{1}{2}}$ và $2$ .

$\frac{\frac{2 \cdot y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

Bước 18.2.5.2

Cộng $2 \cdot y^{\frac{1}{2}}$ và $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{3 \cdot y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

$\frac{\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

Bước 18.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.3.1

Nhân $\frac{\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

Bước 18.3.2

Kết hợp.

$\frac{2 (\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3}$

Bước 18.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 (- \frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3}$

Bước 18.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 (- \frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3}$

Bước 18.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}} + 2 (- \frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3}$

Bước 18.3.5

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 3}$

Bước 18.3.6

Kết hợp $- 2$ và $\frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 \cdot 3}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 3}$

Bước 18.3.7

Nhân $- 2$ với $3$ .

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}} + \frac{- 6}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 3}$

Bước 18.3.8

Đưa $2$ ra ngoài $- 6$ .

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 3}$

Bước 18.3.9

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.3.9.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 (y^{\frac{1}{2}})}}{2 \cdot 3}$

Bước 18.3.9.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 3}$

Bước 18.3.9.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 3}$

Bước 18.3.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 3}$

Bước 18.3.11

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{y^{\frac{1}{2}}}}{6}$

Bước 18.3.12

Đưa $3$ ra ngoài $3 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 (y^{\frac{1}{2}}) - \frac{3}{y^{\frac{1}{2}}}}{6}$

Bước 18.3.13

Đưa $3$ ra ngoài $- \frac{3}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 (y^{\frac{1}{2}}) + 3 (- \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}})}{6}$

Bước 18.3.14

Đưa $3$ ra ngoài $3 (y^{\frac{1}{2}}) + 3 (- \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}})$ .

$\frac{3 (y^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}})}{6}$

Bước 18.3.15

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.3.15.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$\frac{3 (y^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}})}{3 (2)}$

Bước 18.3.15.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 (y^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}})}{3 \cdot 2}$

Bước 18.3.15.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{y^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Bước 18.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.4.1

Để viết $y^{\frac{1}{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Bước 18.4.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} - 1}{y^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Bước 18.4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.4.3.1

Nhân $y^{\frac{1}{2}}$ với $y^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.4.3.1.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{y^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 1}{y^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Bước 18.4.3.1.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{y^{\frac{1 + 1}{2}} - 1}{y^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Bước 18.4.3.1.3

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\frac{y^{\frac{2}{2}} - 1}{y^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Bước 18.4.3.1.4

Chia $2$ cho $2$ .

$\frac{\frac{y^{1} - 1}{y^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Bước 18.4.3.2

Rút gọn $y^{1}$ .

$\frac{\frac{y - 1}{y^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Bước 18.5

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{y - 1}{y^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 18.6

Nhân $\frac{y - 1}{y^{\frac{1}{2}}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{y - 1}{y^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Bước 18.7

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y - 1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$