Giải tích Ví dụ

$f (x) = x^{\frac{5}{3}} - x^{\frac{2}{3}}$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{\frac{5}{3}} - x^{\frac{2}{3}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{5}{3}$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Bước 2.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Bước 2.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Bước 2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Bước 2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Bước 2.5.2

Trừ $3$ khỏi $5$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{\frac{2}{3}}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Bước 3.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Bước 3.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Bước 3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Bước 3.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Bước 3.6.2

Trừ $3$ khỏi $2$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Bước 3.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Bước 3.8

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Bước 3.9

Di chuyển $x^{- \frac{1}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 4

Kết hợp $\frac{5}{3}$ và $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$