Giải tích Ví dụ

$f (x) = e^{\log (e^{5 x})}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = \log (e^{5 x})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\log (e^{5 x})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\log (e^{5 x})]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\log (e^{5 x})]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\log (e^{5 x})$ .

$e^{\log (e^{5 x})} \frac{d}{d x} [\log (e^{5 x})]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \log (x)$ và $g (x) = e^{5 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $e^{5 x}$ .

$e^{\log (e^{5 x})} (\frac{d}{d u_{2}} [\log (u_{2})] \frac{d}{d x} [e^{5 x}])$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\log (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{u_{2} \ln (10)}$ .

$e^{\log (e^{5 x})} (\frac{1}{u_{2} \ln (10)} \frac{d}{d x} [e^{5 x}])$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $e^{5 x}$ .

$e^{\log (e^{5 x})} (\frac{1}{e^{5 x} \ln (10)} \frac{d}{d x} [e^{5 x}])$

Bước 3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp $\frac{1}{e^{5 x} \ln (10)}$ và $e^{\log (e^{5 x})}$ .

$\frac{e^{\log (e^{5 x})}}{e^{5 x} \ln (10)} \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

Bước 3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $e^{\log (e^{5 x})}$ và $e^{5 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Đưa $e^{5 x}$ ra ngoài $e^{\log (e^{5 x})}$ .

$\frac{e^{5 x} e^{\log (e^{5 x}) - 5 x}}{e^{5 x} \ln (10)} \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

Bước 3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Đưa $e^{5 x}$ ra ngoài $e^{5 x} \ln (10)$ .

$\frac{e^{5 x} e^{\log (e^{5 x}) - 5 x}}{e^{5 x} (\ln (10))} \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

Bước 3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{5 x} e^{\log (e^{5 x}) - 5 x}}{e^{5 x} \ln (10)} \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

Bước 3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{e^{\log (e^{5 x}) - 5 x}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 5 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{3}$ ở dạng $5 x$ .

$\frac{e^{\log (e^{5 x}) - 5 x}}{\ln (10)} (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [5 x])$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ là $a^{u_{3}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{e^{\log (e^{5 x}) - 5 x}}{\ln (10)} (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [5 x])$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $5 x$ .

$\frac{e^{\log (e^{5 x}) - 5 x}}{\ln (10)} (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])$

Bước 5

Kết hợp $e^{5 x}$ và $\frac{e^{\log (e^{5 x}) - 5 x}}{\ln (10)}$ .

$\frac{e^{5 x} e^{\log (e^{5 x}) - 5 x}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [5 x]$

Bước 6

Nhân $e^{5 x}$ với $e^{\log (e^{5 x}) - 5 x}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{e^{5 x + \log (e^{5 x}) - 5 x}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [5 x]$

Bước 6.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $5 x + \log (e^{5 x}) - 5 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Trừ $5 x$ khỏi $5 x$ .

$\frac{e^{0 + \log (e^{5 x})}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [5 x]$

Bước 6.2.2

Cộng $0$ và $\log (e^{5 x})$ .

$\frac{e^{\log (e^{5 x})}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [5 x]$

Bước 7

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{\log (e^{5 x})}}{\ln (10)} (5 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 8

Kết hợp $5$ và $\frac{e^{\log (e^{5 x})}}{\ln (10)}$ .

$\frac{5 e^{\log (e^{5 x})}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{5 e^{\log (e^{5 x})}}{\ln (10)} \cdot 1$

Bước 10

Nhân $\frac{5 e^{\log (e^{5 x})}}{\ln (10)}$ với $1$ .

$\frac{5 e^{\log (e^{5 x})}}{\ln (10)}$