Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{t - 5}{t^{2} + 10 t + 25}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ là $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ trong đó $f (t) = t - 5$ và $g (t) = t^{2} + 10 t + 25$ .

$\frac{(t^{2} + 10 t + 25) \frac{d}{d t} [t - 5] - (t - 5) \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $t - 5$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 5]$ .

$\frac{(t^{2} + 10 t + 25) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 5]) - (t - 5) \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(t^{2} + 10 t + 25) (1 + \frac{d}{d t} [- 5]) - (t - 5) \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Bước 2.3

Vì $- 5$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $- 5$ đối với $t$ là $0$ .

$\frac{(t^{2} + 10 t + 25) (1 + 0) - (t - 5) \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Bước 2.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{(t^{2} + 10 t + 25) \cdot 1 - (t - 5) \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Bước 2.4.2

Nhân $t^{2} + 10 t + 25$ với $1$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - (t - 5) \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Bước 2.5

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $t^{2} + 10 t + 25$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t] + \frac{d}{d t} [25]$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - (t - 5) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t] + \frac{d}{d t} [25])}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Bước 2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - (t - 5) (2 t + \frac{d}{d t} [10 t] + \frac{d}{d t} [25])}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Bước 2.7

Vì $10$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $10 t$ đối với $t$ là $10 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - (t - 5) (2 t + 10 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [25])}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Bước 2.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - (t - 5) (2 t + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [25])}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Bước 2.9

Nhân $10$ với $1$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - (t - 5) (2 t + 10 + \frac{d}{d t} [25])}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Bước 2.10

Vì $25$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $25$ đối với $t$ là $0$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - (t - 5) (2 t + 10 + 0)}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Bước 2.11

Cộng $2 t + 10$ và $0$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - (t - 5) (2 t + 10)}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 + (- t - - 5) (2 t + 10)}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Bước 3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Nhân $- 1$ với $- 5$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 + (- t + 5) (2 t + 10)}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Bước 3.2.1.2

Khai triển $(- t + 5) (2 t + 10)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - t (2 t + 10) + 5 (2 t + 10)}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Bước 3.2.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - t (2 t) - t \cdot 10 + 5 (2 t + 10)}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Bước 3.2.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - t (2 t) - t \cdot 10 + 5 (2 t) + 5 \cdot 10}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Bước 3.2.1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.3.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 1 \cdot 2 t \cdot t - t \cdot 10 + 5 (2 t) + 5 \cdot 10}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Bước 3.2.1.3.1.2

Nhân $t$ với $t$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.3.1.2.1

Di chuyển $t$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 1 \cdot 2 (t \cdot t) - t \cdot 10 + 5 (2 t) + 5 \cdot 10}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Bước 3.2.1.3.1.2.2

Nhân $t$ với $t$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 1 \cdot 2 t^{2} - t \cdot 10 + 5 (2 t) + 5 \cdot 10}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Bước 3.2.1.3.1.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 2 t^{2} - t \cdot 10 + 5 (2 t) + 5 \cdot 10}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Bước 3.2.1.3.1.4

Nhân $10$ với $- 1$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 2 t^{2} - 10 t + 5 (2 t) + 5 \cdot 10}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Bước 3.2.1.3.1.5

Nhân $2$ với $5$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 2 t^{2} - 10 t + 10 t + 5 \cdot 10}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Bước 3.2.1.3.1.6

Nhân $5$ với $10$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 2 t^{2} - 10 t + 10 t + 50}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Bước 3.2.1.3.2

Cộng $- 10 t$ và $10 t$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 2 t^{2} + 0 + 50}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Bước 3.2.1.3.3

Cộng $- 2 t^{2}$ và $0$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 2 t^{2} + 50}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Bước 3.2.2

Trừ $2 t^{2}$ khỏi $t^{2}$ .

$\frac{- t^{2} + 10 t + 25 + 50}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Bước 3.2.3

Cộng $25$ và $50$ .

$\frac{- t^{2} + 10 t + 75}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Bước 3.3

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = - 1 \cdot 75 = - 75$ và có tổng là $b = 10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Đưa $10$ ra ngoài $10 t$ .

$\frac{- t^{2} + 10 (t) + 75}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Bước 3.3.1.2

Viết lại $10$ ở dạng $- 5$ cộng $15$

$\frac{- t^{2} + (- 5 + 15) t + 75}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Bước 3.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- t^{2} - 5 t + 15 t + 75}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Bước 3.3.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$\frac{(- t^{2} - 5 t) + 15 t + 75}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Bước 3.3.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$\frac{t (- t - 5) - 15 (- t - 5)}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Bước 3.3.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $- t - 5$ .

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Bước 3.4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1

Viết lại $25$ ở dạng $5^{2}$ .

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{{(t^{2} + 10 t + 5^{2})}^{2}}$

Bước 3.4.1.2

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$10 t = 2 \cdot t \cdot 5$

Bước 3.4.1.3

Viết lại đa thức này.

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{{(t^{2} + 2 \cdot t \cdot 5 + 5^{2})}^{2}}$

Bước 3.4.1.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , trong đó $a = t$ và $b = 5$ .

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{{({(t + 5)}^{2})}^{2}}$

Bước 3.4.2

Nhân các số mũ trong ${({(t + 5)}^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{{(t + 5)}^{2 \cdot 2}}$

Bước 3.4.2.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{{(t + 5)}^{4}}$

Bước 3.4.3

Sử dụng định lý nhị thức.

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{t^{4} + 4 t^{3} \cdot 5 + 6 t^{2} \cdot 5^{2} + 4 t \cdot 5^{3} + 5^{4}}$

Bước 3.4.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.1

Nhân $5$ với $4$ .

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{t^{4} + 20 t^{3} + 6 t^{2} \cdot 5^{2} + 4 t \cdot 5^{3} + 5^{4}}$

Bước 3.4.4.2

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{t^{4} + 20 t^{3} + 6 t^{2} \cdot 25 + 4 t \cdot 5^{3} + 5^{4}}$

Bước 3.4.4.3

Nhân $25$ với $6$ .

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{t^{4} + 20 t^{3} + 150 t^{2} + 4 t \cdot 5^{3} + 5^{4}}$

Bước 3.4.4.4

Nâng $5$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{t^{4} + 20 t^{3} + 150 t^{2} + 4 t \cdot 125 + 5^{4}}$

Bước 3.4.4.5

Nhân $125$ với $4$ .

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{t^{4} + 20 t^{3} + 150 t^{2} + 500 t + 5^{4}}$

Bước 3.4.4.6

Nâng $5$ lên lũy thừa $4$ .

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{t^{4} + 20 t^{3} + 150 t^{2} + 500 t + 625}$

Bước 3.4.5

Làm cho mỗi số hạng khớp với các số hạng từ công thức của định lý nhị thức.

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{t^{4} + 4 \cdot 5 t^{3} + 6 \cdot 5^{2} t^{2} + 4 \cdot 5^{3} t + 5^{4}}$

Bước 3.4.6

Phân tích $t^{4} + 4 \cdot 5 t^{3} + 6 \cdot 5^{2} t^{2} + 4 \cdot 5^{3} t + 5^{4}$ thành thừa số bằng định lý nhị thức.

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{{(t + 5)}^{4}}$

Bước 3.5

Triệt tiêu thừa số chung của $- t - 5$ và ${(t + 5)}^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- t$ .

$\frac{(- (t) - 5) (t - 15)}{{(t + 5)}^{4}}$

Bước 3.5.2

Viết lại $- 5$ ở dạng $- 1 (5)$ .

$\frac{(- (t) - 1 (5)) (t - 15)}{{(t + 5)}^{4}}$

Bước 3.5.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (t) - 1 (5)$ .

$\frac{- (t + 5) (t - 15)}{{(t + 5)}^{4}}$

Bước 3.5.4

Viết lại $- (t + 5)$ ở dạng $- 1 (t + 5)$ .

$\frac{- 1 (t + 5) (t - 15)}{{(t + 5)}^{4}}$

Bước 3.5.5

Đưa $t + 5$ ra ngoài $- 1 (t + 5) (t - 15)$ .

$\frac{(t + 5) (- 1 (t - 15))}{{(t + 5)}^{4}}$

Bước 3.5.6

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.6.1

Đưa $t + 5$ ra ngoài ${(t + 5)}^{4}$ .

$\frac{(t + 5) (- 1 (t - 15))}{(t + 5) {(t + 5)}^{3}}$

Bước 3.5.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(t + 5) (- 1 (t - 15))}{(t + 5) {(t + 5)}^{3}}$

Bước 3.5.6.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 1 (t - 15)}{{(t + 5)}^{3}}$

Bước 3.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{t - 15}{{(t + 5)}^{3}}$