Giải tích Ví dụ

$f (x) = \arctan (3 x^{2})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \arctan (x)$ và $g (x) = 3 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $3 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\arctan (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 x^{2}$ .

$\frac{1}{1 + {(3 x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 x^{2}$ .

$\frac{1}{1 + {(3 (x^{2}))}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Bước 2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 (x^{2})$ .

$\frac{1}{1 + 3^{2} {(x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Bước 2.2.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{1}{1 + 9 {(x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Bước 2.2.3

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + 9 x^{2 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Bước 2.2.3.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{1}{1 + 9 x^{4}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Bước 2.3

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{2}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + 9 x^{4}} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 2.4

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{1 + 9 x^{4}}$ .

$\frac{3}{1 + 9 x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{3}{1 + 9 x^{4}} (2 x)$

Bước 2.6

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Kết hợp $2$ và $\frac{3}{1 + 9 x^{4}}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{1 + 9 x^{4}} x$

Bước 2.6.2

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{6}{1 + 9 x^{4}} x$

Bước 2.6.3

Kết hợp $\frac{6}{1 + 9 x^{4}}$ và $x$ .

$\frac{6 x}{1 + 9 x^{4}}$

Bước 2.6.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{6 x}{9 x^{4} + 1}$