Giải tích Ví dụ

$s (x) = 5 e^{- 1.5 x} \cos (2 π x)$

Bước 1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 e^{- 1.5 x} \cos (2 π x)$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [e^{- 1.5 x} \cos (2 π x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [e^{- 1.5 x} \cos (2 π x)]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = e^{- 1.5 x}$ và $g (x) = \cos (2 π x)$ .

$5 (e^{- 1.5 x} \frac{d}{d x} [\cos (2 π x)] + \cos (2 π x) \frac{d}{d x} [e^{- 1.5 x}])$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = 2 π x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $2 π x$ .

$5 (e^{- 1.5 x} (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 π x]) + \cos (2 π x) \frac{d}{d x} [e^{- 1.5 x}])$

Bước 3.2

Đạo hàm của $\cos (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $- \sin (u_{1})$ .

$5 (e^{- 1.5 x} (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 π x]) + \cos (2 π x) \frac{d}{d x} [e^{- 1.5 x}])$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 π x$ .

$5 (e^{- 1.5 x} (- \sin (2 π x) \frac{d}{d x} [2 π x]) + \cos (2 π x) \frac{d}{d x} [e^{- 1.5 x}])$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $2 π$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 π x$ đối với $x$ là $2 π \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (e^{- 1.5 x} (- \sin (2 π x) (2 π \frac{d}{d x} [x])) + \cos (2 π x) \frac{d}{d x} [e^{- 1.5 x}])$

Bước 4.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$5 (e^{- 1.5 x} (- 2 \sin (2 π x) (π \frac{d}{d x} [x])) + \cos (2 π x) \frac{d}{d x} [e^{- 1.5 x}])$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$5 (e^{- 1.5 x} (- 2 \sin (2 π x) (π \cdot 1)) + \cos (2 π x) \frac{d}{d x} [e^{- 1.5 x}])$

Bước 4.4

Nhân $π$ với $1$ .

$5 (e^{- 1.5 x} (- 2 \sin (2 π x) π) + \cos (2 π x) \frac{d}{d x} [e^{- 1.5 x}])$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - 1.5 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $- 1.5 x$ .

$5 (e^{- 1.5 x} (- 2 \sin (2 π x) π) + \cos (2 π x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 1.5 x]))$

Bước 5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$5 (e^{- 1.5 x} (- 2 \sin (2 π x) π) + \cos (2 π x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 1.5 x]))$

Bước 5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $- 1.5 x$ .

$5 (e^{- 1.5 x} (- 2 \sin (2 π x) π) + \cos (2 π x) (e^{- 1.5 x} \frac{d}{d x} [- 1.5 x]))$

Bước 6

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Vì $- 1.5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 1.5 x$ đối với $x$ là $- 1.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (e^{- 1.5 x} (- 2 \sin (2 π x) π) + \cos (2 π x) (e^{- 1.5 x} (- 1.5 \frac{d}{d x} [x])))$

Bước 6.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$5 (e^{- 1.5 x} (- 2 \sin (2 π x) π) + \cos (2 π x) (e^{- 1.5 x} (- 1.5 \cdot 1)))$

Bước 6.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Nhân $- 1.5$ với $1$ .

$5 (e^{- 1.5 x} (- 2 \sin (2 π x) π) + \cos (2 π x) (e^{- 1.5 x} \cdot - 1.5))$

Bước 6.3.2

Di chuyển $- 1.5$ sang phía bên trái của $e^{- 1.5 x}$ .

$5 (e^{- 1.5 x} (- 2 \sin (2 π x) π) + \cos (2 π x) (- 1.5 \cdot e^{- 1.5 x}))$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$5 (e^{- 1.5 x} (- 2 \sin (2 π x) π)) + 5 (\cos (2 π x) (- 1.5 e^{- 1.5 x}))$

Bước 7.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Nhân $- 2$ với $5$ .

$- 10 (e^{- 1.5 x} (\sin (2 π x) π)) + 5 (\cos (2 π x) (- 1.5 e^{- 1.5 x}))$

Bước 7.2.2

Nhân $- 1.5$ với $5$ .

$- 10 e^{- 1.5 x} (\sin (2 π x) π) - 7.5 \cos (2 π x) e^{- 1.5 x}$

Bước 7.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 10 π e^{- 1.5 x} \sin (2 π x) - 7.5 e^{- 1.5 x} \cos (2 π x)$