Giải tích Ví dụ

$s (t) = \frac{1}{t^{2} + 3 t - 1}$

Bước 1

Viết lại $\frac{1}{t^{2} + 3 t - 1}$ ở dạng ${(t^{2} + 3 t - 1)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d t} [{(t^{2} + 3 t - 1)}^{- 1}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = t^{- 1}$ và $g (t) = t^{2} + 3 t - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $t^{2} + 3 t - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{2} + 3 t - 1]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3 t - 1]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $t^{2} + 3 t - 1$ .

$- {(t^{2} + 3 t - 1)}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3 t - 1]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $t^{2} + 3 t - 1$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$- {(t^{2} + 3 t - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- {(t^{2} + 3 t - 1)}^{- 2} (2 t + \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Bước 3.3

Vì $3$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $3 t$ đối với $t$ là $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- {(t^{2} + 3 t - 1)}^{- 2} (2 t + 3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- {(t^{2} + 3 t - 1)}^{- 2} (2 t + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 1])$

Bước 3.5

Nhân $3$ với $1$ .

$- {(t^{2} + 3 t - 1)}^{- 2} (2 t + 3 + \frac{d}{d t} [- 1])$

Bước 3.6

Vì $- 1$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $t$ là $0$ .

$- {(t^{2} + 3 t - 1)}^{- 2} (2 t + 3 + 0)$

Bước 3.7

Cộng $2 t + 3$ và $0$ .

$- {(t^{2} + 3 t - 1)}^{- 2} (2 t + 3)$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(t^{2} + 3 t - 1)}^{2}} (2 t + 3)$

Bước 4.2

Sắp xếp lại các thừa số của $- \frac{1}{{(t^{2} + 3 t - 1)}^{2}} (2 t + 3)$ .

$- (2 t + 3) \frac{1}{{(t^{2} + 3 t - 1)}^{2}}$

Bước 4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(- (2 t) - 1 \cdot 3) \frac{1}{{(t^{2} + 3 t - 1)}^{2}}$

Bước 4.4

Nhân $2$ với $- 1$ .

$(- 2 t - 1 \cdot 3) \frac{1}{{(t^{2} + 3 t - 1)}^{2}}$

Bước 4.5

Nhân $- 1$ với $3$ .

$(- 2 t - 3) \frac{1}{{(t^{2} + 3 t - 1)}^{2}}$

Bước 4.6

Nhân $- 2 t - 3$ với $\frac{1}{{(t^{2} + 3 t - 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 t - 3}{{(t^{2} + 3 t - 1)}^{2}}$

Bước 4.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 2 t$ .

$\frac{- (2 t) - 3}{{(t^{2} + 3 t - 1)}^{2}}$

Bước 4.8

Viết lại $- 3$ ở dạng $- 1 (3)$ .

$\frac{- (2 t) - 1 (3)}{{(t^{2} + 3 t - 1)}^{2}}$

Bước 4.9

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (2 t) - 1 (3)$ .

$\frac{- (2 t + 3)}{{(t^{2} + 3 t - 1)}^{2}}$

Bước 4.10

Viết lại $- (2 t + 3)$ ở dạng $- 1 (2 t + 3)$ .

$\frac{- 1 (2 t + 3)}{{(t^{2} + 3 t - 1)}^{2}}$

Bước 4.11

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2 t + 3}{{(t^{2} + 3 t - 1)}^{2}}$