Giải tích Ví dụ

$j (x) = \frac{4 x + 11}{x^{2} - 3}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 4 x + 11$ và $g (x) = x^{2} - 3$ .

$\frac{(x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [4 x + 11] - (4 x + 11) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x + 11$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [11]$ .

$\frac{(x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [11]) - (4 x + 11) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Bước 2.2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} - 3) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [11]) - (4 x + 11) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 3) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [11]) - (4 x + 11) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Bước 2.4

Nhân $4$ với $1$ .

$\frac{(x^{2} - 3) (4 + \frac{d}{d x} [11]) - (4 x + 11) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Bước 2.5

Vì $11$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $11$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(x^{2} - 3) (4 + 0) - (4 x + 11) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Bước 2.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Cộng $4$ và $0$ .

$\frac{(x^{2} - 3) \cdot 4 - (4 x + 11) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Bước 2.6.2

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $x^{2} - 3$ .

$\frac{4 \cdot (x^{2} - 3) - (4 x + 11) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Bước 2.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{4 (x^{2} - 3) - (4 x + 11) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Bước 2.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{4 (x^{2} - 3) - (4 x + 11) (2 x + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Bước 2.9

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{4 (x^{2} - 3) - (4 x + 11) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Bước 2.10

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{4 (x^{2} - 3) - (4 x + 11) (2 x)}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Bước 2.10.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{4 (x^{2} - 3) - 2 (4 x + 11) x}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 x^{2} + 4 \cdot - 3 - 2 (4 x + 11) x}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Bước 3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 x^{2} + 4 \cdot - 3 + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 11) x}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Bước 3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 x^{2} + 4 \cdot - 3 - 2 (4 x) x - 2 \cdot 11 x}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Bước 3.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1

Nhân $4$ với $- 3$ .

$\frac{4 x^{2} - 12 - 2 (4 x) x - 2 \cdot 11 x}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Bước 3.4.1.2

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.2.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{4 x^{2} - 12 - 2 (4 (x \cdot x)) - 2 \cdot 11 x}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Bước 3.4.1.2.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{4 x^{2} - 12 - 2 (4 x^{2}) - 2 \cdot 11 x}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Bước 3.4.1.3

Nhân $4$ với $- 2$ .

$\frac{4 x^{2} - 12 - 8 x^{2} - 2 \cdot 11 x}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Bước 3.4.1.4

Nhân $- 2$ với $11$ .

$\frac{4 x^{2} - 12 - 8 x^{2} - 22 x}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Bước 3.4.2

Trừ $8 x^{2}$ khỏi $4 x^{2}$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 12 - 22 x}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Bước 3.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- 4 x^{2} - 22 x - 12}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Bước 3.6

Đưa $2$ ra ngoài $- 4 x^{2} - 22 x - 12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 4 x^{2}$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2}) - 22 x - 12}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Bước 3.6.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 22 x$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2}) + 2 (- 11 x) - 12}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Bước 3.6.3

Đưa $2$ ra ngoài $- 12$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2}) + 2 (- 11 x) + 2 (- 6)}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Bước 3.6.4

Đưa $2$ ra ngoài $2 (- 2 x^{2}) + 2 (- 11 x)$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2} - 11 x) + 2 (- 6)}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Bước 3.6.5

Đưa $2$ ra ngoài $2 (- 2 x^{2} - 11 x) + 2 (- 6)$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2} - 11 x - 6)}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Bước 3.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 (- (2 x^{2}) - 11 x - 6)}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Bước 3.8

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 11 x$ .

$\frac{2 (- (2 x^{2}) - (11 x) - 6)}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Bước 3.9

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (2 x^{2}) - (11 x)$ .

$\frac{2 (- (2 x^{2} + 11 x) - 6)}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Bước 3.10

Viết lại $- 6$ ở dạng $- 1 (6)$ .

$\frac{2 (- (2 x^{2} + 11 x) - 1 (6))}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Bước 3.11

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (2 x^{2} + 11 x) - 1 (6)$ .

$\frac{2 (- (2 x^{2} + 11 x + 6))}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Bước 3.12

Viết lại $- (2 x^{2} + 11 x + 6)$ ở dạng $- 1 (2 x^{2} + 11 x + 6)$ .

$\frac{2 (- 1 (2 x^{2} + 11 x + 6))}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$

Bước 3.13

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2 (2 x^{2} + 11 x + 6)}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$