Giải tích Ví dụ

$g (x) = \ln (e^{x} + \ln (x))$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = e^{x} + \ln (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $e^{x} + \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [e^{x} + \ln (x)]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [e^{x} + \ln (x)]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $e^{x} + \ln (x)$ .

$\frac{1}{e^{x} + \ln (x)} \frac{d}{d x} [e^{x} + \ln (x)]$

Bước 2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{x} + \ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{1}{e^{x} + \ln (x)} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{x} + \ln (x)} (e^{x} + \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Bước 4

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{e^{x} + \ln (x)} (e^{x} + \frac{1}{x})$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{1}{e^{x} + \ln (x)} (e^{x} + \frac{1}{x})$ .

$(e^{x} + \frac{1}{x}) \frac{1}{e^{x} + \ln (x)}$

Bước 5.2

Nhân $e^{x} + \frac{1}{x}$ với $\frac{1}{e^{x} + \ln (x)}$ .

$\frac{e^{x} + \frac{1}{x}}{e^{x} + \ln (x)}$

Bước 5.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nhân $\frac{e^{x} + \frac{1}{x}}{e^{x} + \ln (x)}$ với $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{e^{x} + \frac{1}{x}}{e^{x} + \ln (x)}$

Bước 5.3.2

Kết hợp.

$\frac{x (e^{x} + \frac{1}{x})}{x (e^{x} + \ln (x))}$

Bước 5.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x e^{x} + x \frac{1}{x}}{x e^{x} + x \ln (x)}$

Bước 5.5

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x e^{x} + x \frac{1}{x}}{x e^{x} + x \ln (x)}$

Bước 5.5.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{x e^{x} + 1}{x e^{x} + x \ln (x)}$

Bước 5.6

Đưa $x$ ra ngoài $x e^{x} + x \ln (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Đưa $x$ ra ngoài $x e^{x}$ .

$\frac{x e^{x} + 1}{x (e^{x}) + x \ln (x)}$

Bước 5.6.2

Đưa $x$ ra ngoài $x \ln (x)$ .

$\frac{x e^{x} + 1}{x (e^{x}) + x (\ln (x))}$

Bước 5.6.3

Đưa $x$ ra ngoài $x (e^{x}) + x (\ln (x))$ .

$\frac{x e^{x} + 1}{x (e^{x} + \ln (x))}$