Giải tích Ví dụ

$g (t) = \frac{e^{2 t}}{1 + e^{2 t}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ là $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ trong đó $f (t) = e^{2 t}$ và $g (t) = 1 + e^{2 t}$ .

$\frac{(1 + e^{2 t}) \frac{d}{d t} [e^{2 t}] - e^{2 t} \frac{d}{d t} [1 + e^{2 t}]}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = e^{t}$ và $g (t) = 2 t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $2 t$ .

$\frac{(1 + e^{2 t}) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [2 t]) - e^{2 t} \frac{d}{d t} [1 + e^{2 t}]}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{(1 + e^{2 t}) (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [2 t]) - e^{2 t} \frac{d}{d t} [1 + e^{2 t}]}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 t$ .

$\frac{(1 + e^{2 t}) (e^{2 t} \frac{d}{d t} [2 t]) - e^{2 t} \frac{d}{d t} [1 + e^{2 t}]}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(1 + e^{2 t}) e^{2 t} (2 \frac{d}{d t} [t]) - e^{2 t} \frac{d}{d t} [1 + e^{2 t}]}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(1 + e^{2 t}) e^{2 t} (2 \cdot 1) - e^{2 t} \frac{d}{d t} [1 + e^{2 t}]}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Bước 3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{(1 + e^{2 t}) e^{2 t} \cdot 2 - e^{2 t} \frac{d}{d t} [1 + e^{2 t}]}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Bước 3.3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $(1 + e^{2 t}) e^{2 t}$ .

$\frac{2 \cdot ((1 + e^{2 t}) e^{2 t}) - e^{2 t} \frac{d}{d t} [1 + e^{2 t}]}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Bước 3.4

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + e^{2 t}$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$ .

$\frac{2 (1 + e^{2 t}) e^{2 t} - e^{2 t} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [e^{2 t}])}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Bước 3.5

Vì $1$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $1$ đối với $t$ là $0$ .

$\frac{2 (1 + e^{2 t}) e^{2 t} - e^{2 t} (0 + \frac{d}{d t} [e^{2 t}])}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Bước 3.6

Cộng $0$ và $\frac{d}{d t} [e^{2 t}]$ .

$\frac{2 (1 + e^{2 t}) e^{2 t} - e^{2 t} \frac{d}{d t} [e^{2 t}]}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = e^{t}$ và $g (t) = 2 t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $2 t$ .

$\frac{2 (1 + e^{2 t}) e^{2 t} - e^{2 t} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [2 t])}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{2 (1 + e^{2 t}) e^{2 t} - e^{2 t} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [2 t])}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 t$ .

$\frac{2 (1 + e^{2 t}) e^{2 t} - e^{2 t} (e^{2 t} \frac{d}{d t} [2 t])}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Bước 5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 (1 + e^{2 t}) e^{2 t} - e^{2 t + 2 t} \frac{d}{d t} [2 t]}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Bước 6

Cộng $2 t$ và $2 t$ .

$\frac{2 (1 + e^{2 t}) e^{2 t} - e^{4 t} \frac{d}{d t} [2 t]}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Bước 7

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{2 (1 + e^{2 t}) e^{2 t} - e^{4 t} (2 \frac{d}{d t} [t])}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Bước 8

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{2 (1 + e^{2 t}) e^{2 t} - 2 e^{4 t} \frac{d}{d t} [t]}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Bước 9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{2 (1 + e^{2 t}) e^{2 t} - 2 e^{4 t} \cdot 1}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Bước 10

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{2 (1 + e^{2 t}) e^{2 t} - 2 e^{4 t}}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 e^{2 t}) e^{2 t} - 2 e^{4 t}}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Bước 11.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 \cdot 1 e^{2 t} + 2 e^{2 t} e^{2 t} - 2 e^{4 t}}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Bước 11.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1.1

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{2 e^{2 t} + 2 e^{2 t} e^{2 t} - 2 e^{4 t}}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Bước 11.3.1.2

Nhân $e^{2 t}$ với $e^{2 t}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1.2.1

Di chuyển $e^{2 t}$ .

$\frac{2 e^{2 t} + 2 (e^{2 t} e^{2 t}) - 2 e^{4 t}}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Bước 11.3.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 e^{2 t} + 2 e^{2 t + 2 t} - 2 e^{4 t}}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Bước 11.3.1.2.3

Cộng $2 t$ và $2 t$ .

$\frac{2 e^{2 t} + 2 e^{4 t} - 2 e^{4 t}}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Bước 11.3.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 e^{2 t} + 2 e^{4 t} - 2 e^{4 t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.2.1

Trừ $2 e^{4 t}$ khỏi $2 e^{4 t}$ .

$\frac{2 e^{2 t} + 0}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Bước 11.3.2.2

Cộng $2 e^{2 t}$ và $0$ .

$\frac{2 e^{2 t}}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$