Giải tích Ví dụ

$g (r) = r^{2} \ln (2 r + 1)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d r} [f (r) g (r)]$ là $f (r) \frac{d}{d r} [g (r)] + g (r) \frac{d}{d r} [f (r)]$ trong đó $f (r) = r^{2}$ và $g (r) = \ln (2 r + 1)$ .

$r^{2} \frac{d}{d r} [\ln (2 r + 1)] + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ là $f' (g (r)) g' (r)$ trong đó $f (r) = \ln (r)$ và $g (r) = 2 r + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 r + 1$ .

$r^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d r} [2 r + 1]) + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$r^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d r} [2 r + 1]) + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 r + 1$ .

$r^{2} (\frac{1}{2 r + 1} \frac{d}{d r} [2 r + 1]) + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp $\frac{1}{2 r + 1}$ và $r^{2}$ .

$\frac{r^{2}}{2 r + 1} \frac{d}{d r} [2 r + 1] + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Bước 3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 r + 1$ đối với $r$ là $\frac{d}{d r} [2 r] + \frac{d}{d r} [1]$ .

$\frac{r^{2}}{2 r + 1} (\frac{d}{d r} [2 r] + \frac{d}{d r} [1]) + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Bước 3.3

Vì $2$ không đổi đối với $r$ , nên đạo hàm của $2 r$ đối với $r$ là $2 \frac{d}{d r} [r]$ .

$\frac{r^{2}}{2 r + 1} (2 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [1]) + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ là $n r^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{r^{2}}{2 r + 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [1]) + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Bước 3.5

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{r^{2}}{2 r + 1} (2 + \frac{d}{d r} [1]) + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Bước 3.6

Vì $1$ là hằng số đối với $r$ , đạo hàm của $1$ đối với $r$ là $0$ .

$\frac{r^{2}}{2 r + 1} (2 + 0) + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Bước 3.7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Cộng $2$ và $0$ .

$\frac{r^{2}}{2 r + 1} \cdot 2 + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Bước 3.7.2

Kết hợp $\frac{r^{2}}{2 r + 1}$ và $2$ .

$\frac{r^{2} \cdot 2}{2 r + 1} + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Bước 3.7.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $r^{2}$ .

$\frac{2 \cdot r^{2}}{2 r + 1} + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Bước 3.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ là $n r^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{2 r^{2}}{2 r + 1} + \ln (2 r + 1) (2 r)$

Bước 4

Để viết $\ln (2 r + 1) (2 r)$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2 r + 1}{2 r + 1}$ .

$\frac{2 r^{2}}{2 r + 1} + \frac{\ln (2 r + 1) (2 r) (2 r + 1)}{2 r + 1}$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 r^{2} + \ln (2 r + 1) (2 r) (2 r + 1)}{2 r + 1}$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{2 r^{2} + 2 \ln (2 r + 1) r (2 r + 1)}{2 r + 1}$

Bước 6.1.2

Rút gọn $2 \ln (2 r + 1)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$\frac{2 r^{2} + \ln ({(2 r + 1)}^{2}) r (2 r + 1)}{2 r + 1}$

Bước 6.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 r^{2} + \ln ({(2 r + 1)}^{2}) r (2 r) + \ln ({(2 r + 1)}^{2}) r \cdot 1}{2 r + 1}$

Bước 6.1.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{2 r^{2} + 2 \ln ({(2 r + 1)}^{2}) r \cdot r + \ln ({(2 r + 1)}^{2}) r \cdot 1}{2 r + 1}$

Bước 6.1.5

Nhân $\ln ({(2 r + 1)}^{2})$ với $1$ .

$\frac{2 r^{2} + 2 \ln ({(2 r + 1)}^{2}) r \cdot r + r \cdot \ln ({(2 r + 1)}^{2})}{2 r + 1}$

Bước 6.1.6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.6.1

Nhân $r$ với $r$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.6.1.1

Di chuyển $r$ .

$\frac{2 r^{2} + 2 \ln ({(2 r + 1)}^{2}) (r \cdot r) + r \cdot \ln ({(2 r + 1)}^{2})}{2 r + 1}$

Bước 6.1.6.1.2

Nhân $r$ với $r$ .

$\frac{2 r^{2} + 2 \ln ({(2 r + 1)}^{2}) r^{2} + r \cdot \ln ({(2 r + 1)}^{2})}{2 r + 1}$

Bước 6.1.6.2

Rút gọn $2 \ln ({(2 r + 1)}^{2})$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$\frac{2 r^{2} + \ln ({({(2 r + 1)}^{2})}^{2}) r^{2} + r \cdot \ln ({(2 r + 1)}^{2})}{2 r + 1}$

Bước 6.1.6.3

Nhân các số mũ trong ${({(2 r + 1)}^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.6.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 r^{2} + \ln ({(2 r + 1)}^{2 \cdot 2}) r^{2} + r \cdot \ln ({(2 r + 1)}^{2})}{2 r + 1}$

Bước 6.1.6.3.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{2 r^{2} + \ln ({(2 r + 1)}^{4}) r^{2} + r \cdot \ln ({(2 r + 1)}^{2})}{2 r + 1}$

$\frac{2 r^{2} + \ln ({(2 r + 1)}^{4}) r^{2} + r \ln ({(2 r + 1)}^{2})}{2 r + 1}$

Bước 6.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $2 r^{2} + \ln ({(2 r + 1)}^{4}) r^{2} + r \ln ({(2 r + 1)}^{2})$ .

$\frac{2 r^{2} + r^{2} \ln ({(2 r + 1)}^{4}) + r \ln ({(2 r + 1)}^{2})}{2 r + 1}$