Giải tích Ví dụ

$g (x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{5}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x^{2} + 1$ và $g (x) = x^{5}$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(x^{5})}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{5})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{5 \cdot 2}}$

Bước 2.1.2

Nhân $5$ với $2$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x^{5} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{x^{5} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Bước 2.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{x^{5} (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Bước 2.5

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{x^{5} (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Bước 3

Nhân $x^{5}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{x \cdot x^{5} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Bước 3.2

Nhân $x$ với $x^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{x^{1} x^{5} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Bước 3.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{x^{1 + 5} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Bước 3.3

Cộng $1$ và $5$ .

$\frac{x^{6} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Bước 4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x^{6}$ .

$\frac{2 \cdot x^{6} - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$\frac{2 x^{6} - (x^{2} + 1) (5 x^{4})}{x^{10}}$

Bước 6

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $5$ với $- 1$ .

$\frac{2 x^{6} - 5 (x^{2} + 1) x^{4}}{x^{10}}$

Bước 6.2

Đưa $x^{4}$ ra ngoài $2 x^{6} - 5 (x^{2} + 1) x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Đưa $x^{4}$ ra ngoài $2 x^{6}$ .

$\frac{x^{4} (2 x^{2}) - 5 (x^{2} + 1) x^{4}}{x^{10}}$

Bước 6.2.2

Đưa $x^{4}$ ra ngoài $- 5 (x^{2} + 1) x^{4}$ .

$\frac{x^{4} (2 x^{2}) + x^{4} (- 5 (x^{2} + 1))}{x^{10}}$

Bước 6.2.3

Đưa $x^{4}$ ra ngoài $x^{4} (2 x^{2}) + x^{4} (- 5 (x^{2} + 1))$ .

$\frac{x^{4} (2 x^{2} - 5 (x^{2} + 1))}{x^{10}}$

Bước 7

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Đưa $x^{4}$ ra ngoài $x^{10}$ .

$\frac{x^{4} (2 x^{2} - 5 (x^{2} + 1))}{x^{4} x^{6}}$

Bước 7.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{4} (2 x^{2} - 5 (x^{2} + 1))}{x^{4} x^{6}}$

Bước 7.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 x^{2} - 5 (x^{2} + 1)}{x^{6}}$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x^{2} - 5 x^{2} - 5 \cdot 1}{x^{6}}$

Bước 8.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Nhân $- 5$ với $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 5 x^{2} - 5}{x^{6}}$

Bước 8.2.2

Trừ $5 x^{2}$ khỏi $2 x^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 5}{x^{6}}$

Bước 8.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 3 x^{2}$ .

$\frac{- (3 x^{2}) - 5}{x^{6}}$

Bước 8.4

Viết lại $- 5$ ở dạng $- 1 (5)$ .

$\frac{- (3 x^{2}) - 1 (5)}{x^{6}}$

Bước 8.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (3 x^{2}) - 1 (5)$ .

$\frac{- (3 x^{2} + 5)}{x^{6}}$

Bước 8.6

Viết lại $- (3 x^{2} + 5)$ ở dạng $- 1 (3 x^{2} + 5)$ .

$\frac{- 1 (3 x^{2} + 5)}{x^{6}}$

Bước 8.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{3 x^{2} + 5}{x^{6}}$