Giải tích Ví dụ

$g (u) = \sqrt{2} u + \sqrt{3 u}$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sqrt{2} u + \sqrt{3 u}$ đối với $u$ là $\frac{d}{d u} [\sqrt{2} u] + \frac{d}{d u} [\sqrt{3 u}]$ .

$\frac{d}{d u} [\sqrt{2} u] + \frac{d}{d u} [\sqrt{3 u}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d u} [\sqrt{2} u]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $\sqrt{2}$ không đổi đối với $u$ , nên đạo hàm của $\sqrt{2} u$ đối với $u$ là $\sqrt{2} \frac{d}{d u} [u]$ .

$\sqrt{2} \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [\sqrt{3 u}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\sqrt{2} \cdot 1 + \frac{d}{d u} [\sqrt{3 u}]$

Bước 2.3

Nhân $\sqrt{2}$ với $1$ .

$\sqrt{2} + \frac{d}{d u} [\sqrt{3 u}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d u} [\sqrt{3 u}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3 u}$ ở dạng ${(3 u)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{2} + \frac{d}{d u} [{(3 u)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.2

Đưa $3$ ra ngoài $3 u$ .

$\sqrt{2} + \frac{d}{d u} [{(3 (u))}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 (u)$ .

$\sqrt{2} + \frac{d}{d u} [3^{\frac{1}{2}} u^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.4

Vì $3^{\frac{1}{2}}$ không đổi đối với $u$ , nên đạo hàm của $3^{\frac{1}{2}} u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$ .

$\sqrt{2} + 3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\sqrt{2} + 3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1})$

Bước 3.6

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{2} + 3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 3.7

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{2} + 3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 3.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\sqrt{2} + 3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} u^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 3.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\sqrt{2} + 3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} u^{\frac{1 - 2}{2}})$

Bước 3.9.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\sqrt{2} + 3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} u^{\frac{- 1}{2}})$

Bước 3.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\sqrt{2} + 3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2}})$

Bước 3.11

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $u^{- \frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{2} + 3^{\frac{1}{2}} \frac{u^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 3.12

Kết hợp $3^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{u^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\sqrt{2} + \frac{3^{\frac{1}{2}} u^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 3.13

Di chuyển $u^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sqrt{2} + \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{2}$