Giải tích Ví dụ

$g (x) = \sqrt{x} + {(x - 3)}^{3}$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sqrt{x} + {(x - 3)}^{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]$

Bước 2.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]$

Bước 2.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]$

Bước 2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]$

Bước 2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]$

Bước 2.6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]$

Bước 2.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = x - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x - 3$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 3]$

Bước 3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 3]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x - 3$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 3 {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 3]$

Bước 3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 3 {(x - 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 3 {(x - 3)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Bước 3.4

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 3 {(x - 3)}^{2} (1 + 0)$

Bước 3.5

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 3 {(x - 3)}^{2} \cdot 1$

Bước 3.6

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 3 {(x - 3)}^{2}$

Bước 4

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3 {(x - 3)}^{2}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 {(x - 3)}^{2}$

Bước 5.1.2

Để viết $3 {(x - 3)}^{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 {(x - 3)}^{2} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5.1.3

Kết hợp $3 {(x - 3)}^{2}$ và $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 {(x - 3)}^{2} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5.1.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1 + 3 {(x - 3)}^{2} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5.1.5

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{1 + 6 {(x - 3)}^{2} x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}} {(x - 3)}^{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$