Giải tích Ví dụ

$f (x) = \ln (100 \sin^{2} (x))$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = 100 \sin^{2} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $100 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [100 \sin^{2} (x)]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [100 \sin^{2} (x)]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $100 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{1}{100 \sin^{2} (x)} \frac{d}{d x} [100 \sin^{2} (x)]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $100$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $100 \sin^{2} (x)$ đối với $x$ là $100 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$\frac{1}{100 \sin^{2} (x)} (100 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)])$

Bước 2.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Kết hợp $100$ và $\frac{1}{100 \sin^{2} (x)}$ .

$\frac{100}{100 \sin^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Bước 2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $100$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{100}{100 \sin^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Bước 2.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Bước 3

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ sang $\csc^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\sin (x)$ .

$\csc^{2} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\csc^{2} (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\sin (x)$ .

$\csc^{2} (x) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 5

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\csc^{2} (x)$ .

$2 \cdot \csc^{2} (x) \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 6

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$2 \csc^{2} (x) \sin (x) \cos (x)$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Sắp xếp lại các thừa số của $2 \csc^{2} (x) \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \csc^{2} (x) \cos (x) \sin (x)$

Bước 7.2

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$2 \csc^{2} (x) (\cos (x) \sin (x))$

Bước 7.3

Sắp xếp lại $2 \csc^{2} (x)$ và $\cos (x) \sin (x)$ .

$\cos (x) \sin (x) (2 \csc^{2} (x))$

Bước 7.4

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$\cos (x) (\sin (x) \cdot 2) \csc^{2} (x)$

Bước 7.5

Sắp xếp lại $\cos (x)$ và $\sin (x) \cdot 2$ .

$\sin (x) \cdot 2 \cos (x) \csc^{2} (x)$

Bước 7.6

Sắp xếp lại $\sin (x)$ và $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) \csc^{2} (x)$

Bước 7.7

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho sin.

$\sin (2 x) \csc^{2} (x)$

Bước 7.8

Viết lại $\csc (x)$ theo sin và cosin.

$\sin (2 x) {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Bước 7.9

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\sin (2 x) \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Bước 7.10

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\sin (2 x) \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Bước 7.11

Kết hợp $\sin (2 x)$ và $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin (2 x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 7.12

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho sin.

$\frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 7.13

Triệt tiêu thừa số chung của $\sin (x)$ và $\sin^{2} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.13.1

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) (2 \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

Bước 7.13.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.13.2.1

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x) (2 \cos (x))}{\sin (x) \sin (x)}$

Bước 7.13.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sin (x) (2 \cos (x))}{\sin (x) \sin (x)}$

Bước 7.13.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$

Bước 7.14

Tách các phân số.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Bước 7.15

Quy đổi từ $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ sang $\cot (x)$ .

$\frac{2}{1} \cot (x)$

Bước 7.16

Chia $2$ cho $1$ .

$2 \cot (x)$