Giải tích Ví dụ

$\frac{1}{\sqrt{2 a x}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2 a x}$ ở dạng ${(2 a x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d a} [\frac{1}{{(2 a x)}^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 1.2

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 a x$ .

$\frac{d}{d a} [\frac{1}{{(2 (a x))}^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 1.2.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 (a x)$ .

$\frac{d}{d a} [\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} {(a x)}^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 1.3

Vì $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$ không đổi đối với $a$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} {(a x)}^{\frac{1}{2}}}$ đối với $a$ là $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d a} [\frac{1}{{(a x)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d a} [\frac{1}{{(a x)}^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 1.4

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Viết lại $\frac{1}{{(a x)}^{\frac{1}{2}}}$ ở dạng ${({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d a} [{({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Bước 1.4.2

Nhân các số mũ trong ${({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d a} [{(a x)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Bước 1.4.2.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d a} [{(a x)}^{\frac{- 1}{2}}]$

Bước 1.4.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d a} [{(a x)}^{- \frac{1}{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ là $f' (g (a)) g' (a)$ trong đó $f (a) = a^{- \frac{1}{2}}$ và $g (a) = a x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $a x$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d a} [a x])$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d a} [a x])$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $a x$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} {(a x)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d a} [a x])$

Bước 3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} {(a x)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d a} [a x])$

Bước 4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} {(a x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d a} [a x])$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d a} [a x])$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d a} [a x])$

Bước 6.2

Trừ $2$ khỏi $- 1$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d a} [a x])$

Bước 7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} {(a x)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d a} [a x])$

Bước 8

Kết hợp ${(a x)}^{- \frac{3}{2}}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{{(a x)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d a} [a x])$

Bước 9

Di chuyển ${(a x)}^{- \frac{3}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 {(a x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d a} [a x])$

Bước 10

Nhân $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$ với $\frac{1}{2 {(a x)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} (2 {(a x)}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d a} [a x]$

Bước 11

Nhân $2^{\frac{1}{2}}$ với $2$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Di chuyển $2$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d a} [a x]$

Bước 11.2

Nhân $2$ với $2^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{1}{2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d a} [a x]$

Bước 11.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{1}{2^{1 + \frac{1}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d a} [a x]$

Bước 11.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$- \frac{1}{2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d a} [a x]$

Bước 11.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{1}{2^{\frac{2 + 1}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d a} [a x]$

Bước 11.5

Cộng $2$ và $1$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d a} [a x]$

Bước 12

Vì $x$ không đổi đối với $a$ , nên đạo hàm của $a x$ đối với $a$ là $x \frac{d}{d a} [a]$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}} (x \frac{d}{d a} [a])$

Bước 13

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{2^{\frac{3}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{x}{2^{\frac{3}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d a} [a]$

Bước 14

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ là $n a^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \frac{x}{2^{\frac{3}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 1$

Bước 15

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \frac{x}{2^{\frac{3}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 16

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $a x$ .

$- \frac{x}{2^{\frac{3}{2}} (a^{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}})}$

Bước 16.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.1

Di chuyển $x^{1}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}} x^{- 1}}$

Bước 16.2.2

Nhân $x^{\frac{3}{2}}$ với $x^{- 1}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.2.1

Di chuyển $x^{- 1}$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{3}{2}} (x^{- 1} x^{\frac{3}{2}})}$

Bước 16.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{3}{2}} x^{- 1 + \frac{3}{2}}}$

Bước 16.2.2.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{3}{2}} x^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}$

Bước 16.2.2.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{3}{2}} x^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}}$

Bước 16.2.2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{3}{2}} x^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}}}$

Bước 16.2.2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.2.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{3}{2}} x^{\frac{- 2 + 3}{2}}}$

Bước 16.2.2.6.2

Cộng $- 2$ và $3$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$