Giải tích Ví dụ

$x^{2} - x - \ln (x)$

Bước 1

Viết $x^{2} - x - \ln (x)$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = x^{2} - x - \ln (x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - x - \ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Bước 2.2.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \ln (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 x - 1 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Bước 2.3.2

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$2 x - 1 - \frac{1}{x}$

Bước 2.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$2 x - \frac{1}{x} - 1$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x - \frac{1}{x} - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 3.2.3

Nhân $2$ với $1$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = - 1$ và $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 3.3.2

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{d}{d x} x^{- 1} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 3.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$f'' (x) = 2 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 3.3.4

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = 2 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 3.3.5

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f'' (x) = 2 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 3.3.6

Nhân $x^{- 2}$ với $1$ .

$f'' (x) = 2 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 3.3.7

Nhân $\frac{1}{x}$ với $0$ .

$f'' (x) = 2 + x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 3.3.8

Cộng $x^{- 2}$ và $0$ .

$f'' (x) = 2 + x^{- 2} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 3.4

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = 2 + x^{- 2} + 0$

Bước 3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{1}{x^{2}} + 0$

Bước 3.5.2

Cộng $2 + \frac{1}{x^{2}}$ và $0$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{1}{x^{2}}$

Bước 3.5.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}} + 2$

Bước 4

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$

Bước 5

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - x - \ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Bước 5.1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Bước 5.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Bước 5.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Bước 5.1.2.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Bước 5.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \ln (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 x - 1 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Bước 5.1.3.2

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$2 x - 1 - \frac{1}{x}$

Bước 5.1.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = 2 x - \frac{1}{x} - 1$

Bước 5.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $2 x - \frac{1}{x} - 1$ .

$2 x - \frac{1}{x} - 1$

Bước 6

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$

Bước 6.2

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$1, x, 1, 1$

Bước 6.2.2

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$x$

Bước 6.3

Nhân mỗi số hạng trong $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ với $x$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Nhân mỗi số hạng trong $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ với $x$ .

$2 x \cdot x - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

Bước 6.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.1

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.1.1

Di chuyển $x$ .

$2 (x \cdot x) - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

Bước 6.3.2.1.1.2

Nhân $x$ với $x$ .

$2 x^{2} - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

Bước 6.3.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{x}$ vào tử số.

$2 x^{2} + \frac{- 1}{x} x - x = 0 x$

Bước 6.3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 x^{2} + \frac{- 1}{x} x - x = 0 x$

Bước 6.3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$2 x^{2} - 1 - x = 0 x$

Bước 6.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.1

Nhân $0$ với $x$ .

$2 x^{2} - 1 - x = 0$

Bước 6.4

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$2 x^{2} - x - 1 = 0$

Bước 6.4.1.2

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ và có tổng là $b = - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1.2.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$2 x^{2} - (x) - 1 = 0$

Bước 6.4.1.2.2

Viết lại $- 1$ ở dạng $1$ cộng $- 2$

$2 x^{2} + (1 - 2) x - 1 = 0$

Bước 6.4.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 x^{2} + 1 x - 2 x - 1 = 0$

Bước 6.4.1.2.4

Nhân $x$ với $1$ .

$2 x^{2} + x - 2 x - 1 = 0$

Bước 6.4.1.3

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1.3.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$(2 x^{2} + x) - 2 x - 1 = 0$

Bước 6.4.1.3.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$x (2 x + 1) - (2 x + 1) = 0$

Bước 6.4.1.4

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) (x - 1) = 0$

Bước 6.4.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Bước 6.4.3

Đặt $2 x + 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.3.1

Đặt $2 x + 1$ bằng với $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Bước 6.4.3.2

Giải $2 x + 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.3.2.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 x = - 1$

Bước 6.4.3.2.2

Chia mỗi số hạng trong $2 x = - 1$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.3.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = - 1$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Bước 6.4.3.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.3.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.3.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Bước 6.4.3.2.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Bước 6.4.3.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.3.2.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{1}{2}$

Bước 6.4.4

Đặt $x - 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.4.1

Đặt $x - 1$ bằng với $0$ .

$x - 1 = 0$

Bước 6.4.4.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 1$

Bước 6.4.5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(2 x + 1) (x - 1) = 0$ đúng.

$x = - \frac{1}{2}, 1$

Bước 7

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Đặt mẫu số trong $\frac{1}{x}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x = 0$

Bước 8

Các điểm cực trị cần tính.

$x = 1$

Bước 9

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 1$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$\frac{1}{{(1)}^{2}} + 2$

Bước 10

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{1} + 2$

Bước 10.1.2

Chia $1$ cho $1$ .

$1 + 2$

Bước 10.2

Cộng $1$ và $2$ .

$3$

Bước 11

$x = 1$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = 1$ là cực tiểu địa phương

Bước 12

Tìm giá trị y khi $x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f (1) = {(1)}^{2} - (1) - \ln (1)$

Bước 12.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f (1) = 1 - (1) - \ln (1)$

Bước 12.2.1.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f (1) = 1 - 1 - \ln (1)$

Bước 12.2.1.3

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$f (1) = 1 - 1 - 0$

Bước 12.2.1.4

Nhân $- 1$ với $0$ .

$f (1) = 1 - 1 + 0$

Bước 12.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.2.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$f (1) = 0 + 0$

Bước 12.2.2.2

Cộng $0$ và $0$ .

$f (1) = 0$

Bước 12.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $0$ .

$y = 0$

Bước 13

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = x^{2} - x - \ln (x)$ .

$(1, 0)$ là một cực tiểu địa phương

Bước 14