Giải tích Ví dụ

$y = \frac{1}{z + k e^{z}}$

Bước 1

Viết lại $\frac{1}{z + k e^{z}}$ ở dạng ${(z + k e^{z})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d k} [{(z + k e^{z})}^{- 1}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d k} [f (g (k))]$ là $f' (g (k)) g' (k)$ trong đó $f (k) = k^{- 1}$ và $g (k) = z + k e^{z}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $z + k e^{z}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d k} [z + k e^{z}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d k} [z + k e^{z}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $z + k e^{z}$ .

$- {(z + k e^{z})}^{- 2} \frac{d}{d k} [z + k e^{z}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $z + k e^{z}$ đối với $k$ là $\frac{d}{d k} [z] + \frac{d}{d k} [k e^{z}]$ .

$- {(z + k e^{z})}^{- 2} (\frac{d}{d k} [z] + \frac{d}{d k} [k e^{z}])$

Bước 3.2

Vì $z$ là hằng số đối với $k$ , đạo hàm của $z$ đối với $k$ là $0$ .

$- {(z + k e^{z})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d k} [k e^{z}])$

Bước 3.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d k} [k e^{z}]$ .

$- {(z + k e^{z})}^{- 2} \frac{d}{d k} [k e^{z}]$

Bước 3.4

Vì $e^{z}$ không đổi đối với $k$ , nên đạo hàm của $k e^{z}$ đối với $k$ là $e^{z} \frac{d}{d k} [k]$ .

$- {(z + k e^{z})}^{- 2} (e^{z} \frac{d}{d k} [k])$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ là $n k^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- {(z + k e^{z})}^{- 2} (e^{z} \cdot 1)$

Bước 3.6

Nhân $e^{z}$ với $1$ .

$- {(z + k e^{z})}^{- 2} e^{z}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(z + k e^{z})}^{2}} e^{z}$

Bước 4.2

Kết hợp $e^{z}$ và $\frac{1}{{(z + k e^{z})}^{2}}$ .

$- \frac{e^{z}}{{(z + k e^{z})}^{2}}$