Giải tích Ví dụ

$\frac{n r}{1 + (n - 1) r}$

Bước 1

Vì $r$ không đổi đối với $n$ , nên đạo hàm của $\frac{n r}{1 + (n - 1) r}$ đối với $n$ là $r \frac{d}{d n} [\frac{n}{1 + (n - 1) r}]$ .

$r \frac{d}{d n} [\frac{n}{1 + (n - 1) r}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d n} [\frac{f (n)}{g (n)}]$ là $\frac{g (n) \frac{d}{d n} [f (n)] - f (n) \frac{d}{d n} [g (n)]}{{g (n)}^{2}}$ trong đó $f (n) = n$ và $g (n) = 1 + (n - 1) r$ .

$r \frac{(1 + (n - 1) r) \frac{d}{d n} [n] - n \frac{d}{d n} [1 + (n - 1) r]}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ là $n \cdot n^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$r \frac{(1 + (n - 1) r) \cdot 1 - n \frac{d}{d n} [1 + (n - 1) r]}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Bước 3.2

Nhân $1 + (n - 1) r$ với $1$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n \frac{d}{d n} [1 + (n - 1) r]}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Bước 3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + (n - 1) r$ đối với $n$ là $\frac{d}{d n} [1] + \frac{d}{d n} [(n - 1) r]$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n (\frac{d}{d n} [1] + \frac{d}{d n} [(n - 1) r])}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Bước 3.4

Vì $1$ là hằng số đối với $n$ , đạo hàm của $1$ đối với $n$ là $0$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n (0 + \frac{d}{d n} [(n - 1) r])}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Bước 3.5

Cộng $0$ và $\frac{d}{d n} [(n - 1) r]$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n \frac{d}{d n} [(n - 1) r]}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Bước 3.6

Vì $r$ không đổi đối với $n$ , nên đạo hàm của $(n - 1) r$ đối với $n$ là $r \frac{d}{d n} [n - 1]$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n (r \frac{d}{d n} [n - 1])}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Bước 3.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $n - 1$ đối với $n$ là $\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [- 1]$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n (r (\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [- 1]))}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Bước 3.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ là $n \cdot n^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n (r (1 + \frac{d}{d n} [- 1]))}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Bước 3.9

Vì $- 1$ là hằng số đối với $n$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $n$ là $0$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n r (1 + 0)}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Bước 3.10

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.1

Cộng $1$ và $0$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n r \cdot 1}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Bước 3.10.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n r}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Bước 3.10.3

Kết hợp $r$ và $\frac{1 + (n - 1) r - n r}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$ .

$\frac{r (1 + (n - 1) r - n r)}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{r (1 + n r - 1 r - n r)}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Bước 4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{r \cdot 1 + r (n r) + r (- 1 r) + r (- n r)}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Bước 4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{r \cdot 1 + r (n r) + r (- 1 r) + r (- n r)}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

Bước 4.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $r \cdot 1 + r (n r) + r (- 1 r) + r (- n r)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $r (n r)$ và $r (- n r)$ .

$\frac{r \cdot 1 + n r \cdot r + r (- 1 r) - n r \cdot r}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

Bước 4.4.1.2

Trừ $n r \cdot r$ khỏi $n r \cdot r$ .

$\frac{r \cdot 1 + r (- 1 r) + 0}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

Bước 4.4.1.3

Cộng $r \cdot 1 + r (- 1 r)$ và $0$ .

$\frac{r \cdot 1 + r (- 1 r)}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

Bước 4.4.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.1

Nhân $r$ với $1$ .

$\frac{r + r (- 1 r)}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

Bước 4.4.2.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{r - r \cdot r}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

Bước 4.4.2.3

Nhân $r$ với $r$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.3.1

Di chuyển $r$ .

$\frac{r - (r \cdot r)}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

Bước 4.4.2.3.2

Nhân $r$ với $r$ .

$\frac{r - r^{2}}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

Bước 4.5

Viết lại $- 1 r$ ở dạng $- r$ .

$\frac{r - r^{2}}{{(1 + n r - r)}^{2}}$

Bước 4.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- r^{2} + r}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

Bước 4.7

Đưa $r$ ra ngoài $- r^{2} + r$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Đưa $r$ ra ngoài $- r^{2}$ .

$\frac{r (- r) + r}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

Bước 4.7.2

Nâng $r$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{r (- r) + r^{1}}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

Bước 4.7.3

Đưa $r$ ra ngoài $r^{1}$ .

$\frac{r (- r) + r \cdot 1}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

Bước 4.7.4

Đưa $r$ ra ngoài $r (- r) + r \cdot 1$ .

$\frac{r (- r + 1)}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

Bước 4.8

Đưa $- 1$ ra ngoài $- r$ .

$\frac{r (- (r) + 1)}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

Bước 4.9

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

$\frac{r (- (r) - 1 (- 1))}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

Bước 4.10

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (r) - 1 (- 1)$ .

$\frac{r (- (r - 1))}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

Bước 4.11

Viết lại $- (r - 1)$ ở dạng $- 1 (r - 1)$ .

$\frac{r (- 1 (r - 1))}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

Bước 4.12

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{r (r - 1)}{{(n r - r + 1)}^{2}}$