Giải tích Ví dụ

$\frac{\cos (q) - \sin (q)}{\cos (q)}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d q} [\frac{f (q)}{g (q)}]$ là $\frac{g (q) \frac{d}{d q} [f (q)] - f (q) \frac{d}{d q} [g (q)]}{{g (q)}^{2}}$ trong đó $f (q) = \cos (q) - \sin (q)$ và $g (q) = \cos (q)$ .

$\frac{\cos (q) \frac{d}{d q} [\cos (q) - \sin (q)] - (\cos (q) - \sin (q)) \frac{d}{d q} [\cos (q)]}{\cos^{2} (q)}$

Bước 2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\cos (q) - \sin (q)$ đối với $q$ là $\frac{d}{d q} [\cos (q)] + \frac{d}{d q} [- \sin (q)]$ .

$\frac{\cos (q) (\frac{d}{d q} [\cos (q)] + \frac{d}{d q} [- \sin (q)]) - (\cos (q) - \sin (q)) \frac{d}{d q} [\cos (q)]}{\cos^{2} (q)}$

Bước 3

Đạo hàm của $\cos (q)$ đối với $q$ là $- \sin (q)$ .

$\frac{\cos (q) (- \sin (q) + \frac{d}{d q} [- \sin (q)]) - (\cos (q) - \sin (q)) \frac{d}{d q} [\cos (q)]}{\cos^{2} (q)}$

Bước 4

Vì $- 1$ không đổi đối với $q$ , nên đạo hàm của $- \sin (q)$ đối với $q$ là $- \frac{d}{d q} [\sin (q)]$ .

$\frac{\cos (q) (- \sin (q) - \frac{d}{d q} [\sin (q)]) - (\cos (q) - \sin (q)) \frac{d}{d q} [\cos (q)]}{\cos^{2} (q)}$

Bước 5

Đạo hàm của $\sin (q)$ đối với $q$ là $\cos (q)$ .

$\frac{\cos (q) (- \sin (q) - \cos (q)) - (\cos (q) - \sin (q)) \frac{d}{d q} [\cos (q)]}{\cos^{2} (q)}$

Bước 6

Đạo hàm của $\cos (q)$ đối với $q$ là $- \sin (q)$ .

$\frac{\cos (q) (- \sin (q) - \cos (q)) - (\cos (q) - \sin (q)) (- \sin (q))}{\cos^{2} (q)}$

Bước 7

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{\cos (q) (- \sin (q) - \cos (q)) + 1 (\cos (q) - \sin (q)) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Bước 7.2

Nhân $\cos (q) - \sin (q)$ với $1$ .

$\frac{\cos (q) (- \sin (q) - \cos (q)) + (\cos (q) - \sin (q)) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\cos (q) (- \sin (q)) + \cos (q) (- \cos (q)) + (\cos (q) - \sin (q)) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Bước 8.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\cos (q) (- \sin (q)) + \cos (q) (- \cos (q)) + \cos (q) \sin (q) - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Bước 8.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $\cos (q) (- \sin (q)) + \cos (q) (- \cos (q)) + \cos (q) \sin (q) - \sin (q) \sin (q)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $\cos (q) (- \sin (q))$ và $\cos (q) \sin (q)$ .

$\frac{- \cos (q) \sin (q) + \cos (q) (- \cos (q)) + \cos (q) \sin (q) - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Bước 8.3.1.2

Cộng $- \cos (q) \sin (q)$ và $\cos (q) \sin (q)$ .

$\frac{\cos (q) (- \cos (q)) + 0 - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Bước 8.3.1.3

Cộng $\cos (q) (- \cos (q))$ và $0$ .

$\frac{\cos (q) (- \cos (q)) - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Bước 8.3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{- \cos (q) \cos (q) - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Bước 8.3.2.2

Nhân $- \cos (q) \cos (q)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.2.1

Nâng $\cos (q)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{- (\cos^{1} (q) \cos (q)) - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Bước 8.3.2.2.2

Nâng $\cos (q)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{- (\cos^{1} (q) \cos^{1} (q)) - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Bước 8.3.2.2.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{- {\cos (q)}^{1 + 1} - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Bước 8.3.2.2.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{- \cos^{2} (q) - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Bước 8.3.2.3

Nhân $- \sin (q) \sin (q)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.3.1

Nâng $\sin (q)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{- \cos^{2} (q) - (\sin^{1} (q) \sin (q))}{\cos^{2} (q)}$

Bước 8.3.2.3.2

Nâng $\sin (q)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{- \cos^{2} (q) - (\sin^{1} (q) \sin^{1} (q))}{\cos^{2} (q)}$

Bước 8.3.2.3.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{- \cos^{2} (q) - {\sin (q)}^{1 + 1}}{\cos^{2} (q)}$

Bước 8.3.2.3.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{- \cos^{2} (q) - \sin^{2} (q)}{\cos^{2} (q)}$

Bước 8.3.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \cos^{2} (q)$ .

$\frac{- (\cos^{2} (q)) - \sin^{2} (q)}{\cos^{2} (q)}$

Bước 8.3.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \sin^{2} (q)$ .

$\frac{- (\cos^{2} (q)) - (\sin^{2} (q))}{\cos^{2} (q)}$

Bước 8.3.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (\cos^{2} (q)) - (\sin^{2} (q))$ .

$\frac{- (\cos^{2} (q) + \sin^{2} (q))}{\cos^{2} (q)}$

Bước 8.3.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- (\sin^{2} (q) + \cos^{2} (q))}{\cos^{2} (q)}$

Bước 8.3.7

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\frac{- 1 \cdot 1}{\cos^{2} (q)}$

Bước 8.3.8

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{- 1}{\cos^{2} (q)}$

Bước 8.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{\cos^{2} (q)}$

Bước 8.4.2

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos^{2} (q)}$ sang $\sec^{2} (q)$ .

$- \sec^{2} (q)$