Giải tích Ví dụ

$\frac{q \sin (q)}{q^{2} - 1}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d q} [\frac{f (q)}{g (q)}]$ là $\frac{g (q) \frac{d}{d q} [f (q)] - f (q) \frac{d}{d q} [g (q)]}{{g (q)}^{2}}$ trong đó $f (q) = q \sin (q)$ và $g (q) = q^{2} - 1$ .

$\frac{(q^{2} - 1) \frac{d}{d q} [q \sin (q)] - q \sin (q) \frac{d}{d q} [q^{2} - 1]}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d q} [f (q) g (q)]$ là $f (q) \frac{d}{d q} [g (q)] + g (q) \frac{d}{d q} [f (q)]$ trong đó $f (q) = q$ và $g (q) = \sin (q)$ .

$\frac{(q^{2} - 1) (q \frac{d}{d q} [\sin (q)] + \sin (q) \frac{d}{d q} [q]) - q \sin (q) \frac{d}{d q} [q^{2} - 1]}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 3

Đạo hàm của $\sin (q)$ đối với $q$ là $\cos (q)$ .

$\frac{(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q) \frac{d}{d q} [q]) - q \sin (q) \frac{d}{d q} [q^{2} - 1]}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ là $n q^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q) \cdot 1) - q \sin (q) \frac{d}{d q} [q^{2} - 1]}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 4.2

Nhân $\sin (q)$ với $1$ .

$\frac{(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q)) - q \sin (q) \frac{d}{d q} [q^{2} - 1]}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 4.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $q^{2} - 1$ đối với $q$ là $\frac{d}{d q} [q^{2}] + \frac{d}{d q} [- 1]$ .

$\frac{(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q)) - q \sin (q) (\frac{d}{d q} [q^{2}] + \frac{d}{d q} [- 1])}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 4.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ là $n q^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q)) - q \sin (q) (2 q + \frac{d}{d q} [- 1])}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 4.5

Vì $- 1$ là hằng số đối với $q$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $q$ là $0$ .

$\frac{(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q)) - q \sin (q) (2 q + 0)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 4.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Cộng $2 q$ và $0$ .

$\frac{(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q)) - q \sin (q) (2 q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 4.6.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q)) - 2 q \sin (q) q}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 5

Nâng $q$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q)) - 2 (q^{1} q) \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 6

Nâng $q$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q)) - 2 (q^{1} q^{1}) \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q)) - 2 q^{1 + 1} \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 8

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q)) - 2 q^{2} \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Khai triển $(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q))$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{q^{2} (q \cos (q) + \sin (q)) - 1 (q \cos (q) + \sin (q)) - 2 q^{2} \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 9.1.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{q^{2} (q \cos (q)) + q^{2} \sin (q) - 1 (q \cos (q) + \sin (q)) - 2 q^{2} \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 9.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{q^{2} (q \cos (q)) + q^{2} \sin (q) - 1 (q \cos (q)) - 1 \sin (q) - 2 q^{2} \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 9.1.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.1

Nhân $q^{2}$ với $q$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.1.1

Di chuyển $q$ .

$\frac{q \cdot q^{2} \cos (q) + q^{2} \sin (q) - 1 (q \cos (q)) - 1 \sin (q) - 2 q^{2} \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 9.1.2.1.2

Nhân $q$ với $q^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.1.2.1

Nâng $q$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{q^{1} q^{2} \cos (q) + q^{2} \sin (q) - 1 (q \cos (q)) - 1 \sin (q) - 2 q^{2} \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 9.1.2.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{q^{1 + 2} \cos (q) + q^{2} \sin (q) - 1 (q \cos (q)) - 1 \sin (q) - 2 q^{2} \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 9.1.2.1.3

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{q^{3} \cos (q) + q^{2} \sin (q) - 1 (q \cos (q)) - 1 \sin (q) - 2 q^{2} \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 9.1.2.2

Viết lại $- 1 (q \cos (q))$ ở dạng $- (q \cos (q))$ .

$\frac{q^{3} \cos (q) + q^{2} \sin (q) - (q \cos (q)) - 1 \sin (q) - 2 q^{2} \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 9.1.2.3

Viết lại $- 1 \sin (q)$ ở dạng $- \sin (q)$ .

$\frac{q^{3} \cos (q) + q^{2} \sin (q) - q \cos (q) - \sin (q) - 2 q^{2} \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 9.2

Trừ $2 q^{2} \sin (q)$ khỏi $q^{2} \sin (q)$ .

$\frac{q^{3} \cos (q) - q^{2} \sin (q) - q \cos (q) - \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$