Giải tích Ví dụ

$\frac{4}{3} \cdot (p {(r + h)}^{3}) - \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{4}{3} \cdot (p {(r + h)}^{3}) - \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})$ đối với $r$ là $\frac{d}{d r} [\frac{4}{3} \cdot (p {(r + h)}^{3})] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{4}{3} \cdot (p {(r + h)}^{3})] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d r} [\frac{4}{3} \cdot (p {(r + h)}^{3})]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $p$ và $\frac{4}{3}$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{p \cdot 4}{3} \cdot {(r + h)}^{3}] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Bước 2.2

Kết hợp $\frac{p \cdot 4}{3}$ và ${(r + h)}^{3}$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{p \cdot 4 {(r + h)}^{3}}{3}] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Bước 2.3

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $p$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{4 \cdot p {(r + h)}^{3}}{3}] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Bước 2.4

Vì $\frac{4 p}{3}$ không đổi đối với $r$ , nên đạo hàm của $\frac{4 p {(r + h)}^{3}}{3}$ đối với $r$ là $\frac{4 p}{3} \frac{d}{d r} [{(r + h)}^{3}]$ .

$\frac{4 p}{3} \frac{d}{d r} [{(r + h)}^{3}] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ là $f' (g (r)) g' (r)$ trong đó $f (r) = r^{3}$ và $g (r) = r + h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $r + h$ .

$\frac{4 p}{3} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d r} [r + h]) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Bước 2.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{4 p}{3} (3 u^{2} \frac{d}{d r} [r + h]) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Bước 2.5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $r + h$ .

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2} \frac{d}{d r} [r + h]) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Bước 2.6

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $r + h$ đối với $r$ là $\frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [h]$ .

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2} (\frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [h])) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Bước 2.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ là $n r^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2} (1 + \frac{d}{d r} [h])) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Bước 2.8

Vì $h$ là hằng số đối với $r$ , đạo hàm của $h$ đối với $r$ là $0$ .

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2} (1 + 0)) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Bước 2.9

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Bước 2.10

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2}) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Bước 2.11

Kết hợp $3$ và $\frac{4 p}{3}$ .

$\frac{3 (4 p)}{3} {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Bước 2.12

Nhân $4$ với $3$ .

$\frac{12 p}{3} {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Bước 2.13

Kết hợp $\frac{12 p}{3}$ và ${(r + h)}^{2}$ .

$\frac{12 p {(r + h)}^{2}}{3} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Bước 2.14

Triệt tiêu thừa số chung của $12$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.14.1

Đưa $3$ ra ngoài $12 p {(r + h)}^{2}$ .

$\frac{3 (4 p {(r + h)}^{2})}{3} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Bước 2.14.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.14.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{3 (4 p {(r + h)}^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Bước 2.14.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 (4 p {(r + h)}^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Bước 2.14.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{4 p {(r + h)}^{2}}{1} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Bước 2.14.2.4

Chia $4 p {(r + h)}^{2}$ cho $1$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp $p$ và $\frac{4}{3}$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{p \cdot 4}{3} \cdot r^{3}]$

Bước 3.2

Kết hợp $r^{3}$ và $\frac{p \cdot 4}{3}$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{r^{3} (p \cdot 4)}{3}]$

Bước 3.3

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $p$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{r^{3} (4 \cdot p)}{3}]$

Bước 3.4

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $r^{3}$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{4 \cdot r^{3} p}{3}]$

Bước 3.5

Vì $- \frac{4 p}{3}$ không đổi đối với $r$ , nên đạo hàm của $- \frac{4 r^{3} p}{3}$ đối với $r$ là $- \frac{4 p}{3} \frac{d}{d r} [r^{3}]$ .

$4 p {(r + h)}^{2} - \frac{4 p}{3} \frac{d}{d r} [r^{3}]$

Bước 3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ là $n r^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$4 p {(r + h)}^{2} - \frac{4 p}{3} (3 r^{2})$

Bước 3.7

Nhân $3$ với $- 1$ .

$4 p {(r + h)}^{2} - 3 \frac{4 p}{3} r^{2}$

Bước 3.8

Kết hợp $- 3$ và $\frac{4 p}{3}$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{- 3 (4 p)}{3} r^{2}$

Bước 3.9

Nhân $4$ với $- 3$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{- 12 p}{3} r^{2}$

Bước 3.10

Kết hợp $\frac{- 12 p}{3}$ và $r^{2}$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{- 12 p r^{2}}{3}$

Bước 3.11

Triệt tiêu thừa số chung của $- 12$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 12 p r^{2}$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{3 (- 4 p r^{2})}{3}$

Bước 3.11.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{3 (- 4 p r^{2})}{3 (1)}$

Bước 3.11.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{3 (- 4 p r^{2})}{3 \cdot 1}$

Bước 3.11.2.3

Viết lại biểu thức.

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{- 4 p r^{2}}{1}$

Bước 3.11.2.4

Chia $- 4 p r^{2}$ cho $1$ .

$4 p {(r + h)}^{2} - 4 p r^{2}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$4 p {(r + h)}^{2} - 4 r^{2} p$

Bước 4.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Viết lại ${(r + h)}^{2}$ ở dạng $(r + h) (r + h)$ .

$4 p ((r + h) (r + h)) - 4 r^{2} p$

Bước 4.2.2

Khai triển $(r + h) (r + h)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 p (r (r + h) + h (r + h)) - 4 r^{2} p$

Bước 4.2.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 p (r \cdot r + r h + h (r + h)) - 4 r^{2} p$

Bước 4.2.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 p (r \cdot r + r h + h r + h \cdot h) - 4 r^{2} p$

Bước 4.2.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1.1

Nhân $r$ với $r$ .

$4 p (r^{2} + r h + h r + h \cdot h) - 4 r^{2} p$

Bước 4.2.3.1.2

Nhân $h$ với $h$ .

$4 p (r^{2} + r h + h r + h^{2}) - 4 r^{2} p$

Bước 4.2.3.2

Cộng $r h$ và $h r$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.2.1

Sắp xếp lại $r$ và $h$ .

$4 p (r^{2} + h r + h r + h^{2}) - 4 r^{2} p$

Bước 4.2.3.2.2

Cộng $h r$ và $h r$ .

$4 p (r^{2} + 2 h r + h^{2}) - 4 r^{2} p$

Bước 4.2.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 p r^{2} + 4 p (2 h r) + 4 p h^{2} - 4 r^{2} p$

Bước 4.2.5

Nhân $2$ với $4$ .

$4 p r^{2} + 8 p h r + 4 p h^{2} - 4 r^{2} p$

Bước 4.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $4 p r^{2} + 8 p h r + 4 p h^{2} - 4 r^{2} p$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $4 p r^{2}$ và $- 4 r^{2} p$ .

$4 r^{2} p + 8 p h r + 4 p h^{2} - 4 r^{2} p$

Bước 4.3.2

Trừ $4 r^{2} p$ khỏi $4 r^{2} p$ .

$8 p h r + 4 p h^{2} + 0$

Bước 4.3.3

Cộng $8 p h r + 4 p h^{2}$ và $0$ .

$8 p h r + 4 p h^{2}$