Giải tích Ví dụ

$- \frac{A}{r^{2}} + \frac{B}{r^{3}}$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- \frac{A}{r^{2}} + \frac{B}{r^{3}}$ đối với $r$ là $\frac{d}{d r} [- \frac{A}{r^{2}}] + \frac{d}{d r} [\frac{B}{r^{3}}]$ .

$\frac{d}{d r} [- \frac{A}{r^{2}}] + \frac{d}{d r} [\frac{B}{r^{3}}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d r} [- \frac{A}{r^{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $- A$ không đổi đối với $r$ , nên đạo hàm của $- \frac{A}{r^{2}}$ đối với $r$ là $- A \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{2}}]$ .

$- A \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{2}}] + \frac{d}{d r} [\frac{B}{r^{3}}]$

Bước 2.2

Viết lại $\frac{1}{r^{2}}$ ở dạng ${(r^{2})}^{- 1}$ .

$- A \frac{d}{d r} [{(r^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d r} [\frac{B}{r^{3}}]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ là $f' (g (r)) g' (r)$ trong đó $f (r) = r^{- 1}$ và $g (r) = r^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $r^{2}$ .

$- A (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d r} [r^{2}]) + \frac{d}{d r} [\frac{B}{r^{3}}]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- A (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d r} [r^{2}]) + \frac{d}{d r} [\frac{B}{r^{3}}]$

Bước 2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $r^{2}$ .

$- A (- {(r^{2})}^{- 2} \frac{d}{d r} [r^{2}]) + \frac{d}{d r} [\frac{B}{r^{3}}]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ là $n r^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- A (- {(r^{2})}^{- 2} (2 r)) + \frac{d}{d r} [\frac{B}{r^{3}}]$

Bước 2.5

Nhân các số mũ trong ${(r^{2})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- A (- r^{2 \cdot - 2} (2 r)) + \frac{d}{d r} [\frac{B}{r^{3}}]$

Bước 2.5.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$- A (- r^{- 4} (2 r)) + \frac{d}{d r} [\frac{B}{r^{3}}]$

Bước 2.6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- A (- 2 r^{- 4} r) + \frac{d}{d r} [\frac{B}{r^{3}}]$

Bước 2.7

Nâng $r$ lên lũy thừa $1$ .

$- A (- 2 (r^{1} r^{- 4})) + \frac{d}{d r} [\frac{B}{r^{3}}]$

Bước 2.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- A (- 2 r^{1 - 4}) + \frac{d}{d r} [\frac{B}{r^{3}}]$

Bước 2.9

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$- A (- 2 r^{- 3}) + \frac{d}{d r} [\frac{B}{r^{3}}]$

Bước 2.10

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$2 A r^{- 3} + \frac{d}{d r} [\frac{B}{r^{3}}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d r} [\frac{B}{r^{3}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $B$ không đổi đối với $r$ , nên đạo hàm của $\frac{B}{r^{3}}$ đối với $r$ là $B \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{3}}]$ .

$2 A r^{- 3} + B \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{3}}]$

Bước 3.2

Viết lại $\frac{1}{r^{3}}$ ở dạng ${(r^{3})}^{- 1}$ .

$2 A r^{- 3} + B \frac{d}{d r} [{(r^{3})}^{- 1}]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ là $f' (g (r)) g' (r)$ trong đó $f (r) = r^{- 1}$ và $g (r) = r^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $r^{3}$ .

$2 A r^{- 3} + B (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d r} [r^{3}])$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$2 A r^{- 3} + B (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d r} [r^{3}])$

Bước 3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $r^{3}$ .

$2 A r^{- 3} + B (- {(r^{3})}^{- 2} \frac{d}{d r} [r^{3}])$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ là $n r^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$2 A r^{- 3} + B (- {(r^{3})}^{- 2} (3 r^{2}))$

Bước 3.5

Nhân các số mũ trong ${(r^{3})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 A r^{- 3} + B (- r^{3 \cdot - 2} (3 r^{2}))$

Bước 3.5.2

Nhân $3$ với $- 2$ .

$2 A r^{- 3} + B (- r^{- 6} (3 r^{2}))$

Bước 3.6

Nhân $3$ với $- 1$ .

$2 A r^{- 3} + B (- 3 r^{- 6} r^{2})$

Bước 3.7

Nhân $r^{- 6}$ với $r^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Di chuyển $r^{2}$ .

$2 A r^{- 3} + B (- 3 (r^{2} r^{- 6}))$

Bước 3.7.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 A r^{- 3} + B (- 3 r^{2 - 6})$

Bước 3.7.3

Trừ $6$ khỏi $2$ .

$2 A r^{- 3} + B (- 3 r^{- 4})$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 A \frac{1}{r^{3}} + B (- 3 r^{- 4})$

Bước 4.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 A \frac{1}{r^{3}} + B (- 3 \frac{1}{r^{4}})$

Bước 4.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{r^{3}}$ .

$A \frac{2}{r^{3}} + B (- 3 \frac{1}{r^{4}})$

Bước 4.3.2

Kết hợp $A$ và $\frac{2}{r^{3}}$ .

$\frac{A \cdot 2}{r^{3}} + B (- 3 \frac{1}{r^{4}})$

Bước 4.3.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $A$ .

$\frac{2 \cdot A}{r^{3}} + B (- 3 \frac{1}{r^{4}})$

Bước 4.3.4

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{r^{4}}$ .

$\frac{2 A}{r^{3}} + B \frac{- 3}{r^{4}}$

Bước 4.3.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{2 A}{r^{3}} + B (- \frac{3}{r^{4}})$

Bước 4.3.6

Kết hợp $B$ và $\frac{3}{r^{4}}$ .

$\frac{2 A}{r^{3}} - \frac{B \cdot 3}{r^{4}}$

Bước 4.3.7

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $B$ .

$\frac{2 A}{r^{3}} - \frac{3 B}{r^{4}}$