Giải tích Ví dụ

$A e^{k t} \sin (b t)$

Bước 1

Vì $A$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $A e^{k t} \sin (b t)$ đối với $t$ là $A \frac{d}{d t} [e^{k t} \sin (b t)]$ .

$A \frac{d}{d t} [e^{k t} \sin (b t)]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ là $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ trong đó $f (t) = e^{k t}$ và $g (t) = \sin (b t)$ .

$A (e^{k t} \frac{d}{d t} [\sin (b t)] + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = \sin (t)$ và $g (t) = b t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $b t$ .

$A (e^{k t} (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d t} [b t]) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

Bước 3.2

Đạo hàm của $\sin (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\cos (u_{1})$ .

$A (e^{k t} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d t} [b t]) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $b t$ .

$A (e^{k t} (\cos (b t) \frac{d}{d t} [b t]) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $b$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $b t$ đối với $t$ là $b \frac{d}{d t} [t]$ .

$A (e^{k t} (\cos (b t) (b \frac{d}{d t} [t])) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$A (e^{k t} (\cos (b t) (b \cdot 1)) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

Bước 4.3

Nhân $b$ với $1$ .

$A (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = e^{t}$ và $g (t) = k t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $k t$ .

$A (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [k t]))$

Bước 5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$A (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [k t]))$

Bước 5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $k t$ .

$A (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) (e^{k t} \frac{d}{d t} [k t]))$

Bước 6

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Vì $k$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $k t$ đối với $t$ là $k \frac{d}{d t} [t]$ .

$A (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) (e^{k t} (k \frac{d}{d t} [t])))$

Bước 6.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$A (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) (e^{k t} (k \cdot 1)))$

Bước 6.3

Nhân $k$ với $1$ .

$A (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) (e^{k t} k))$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$A (e^{k t} (\cos (b t) b)) + A (\sin (b t) (e^{k t} k))$

Bước 7.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$A e^{k t} (\cos (b t) b) + A \sin (b t) (e^{k t} k)$

Bước 7.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$e^{k t} A b \cos (b t) + e^{k t} A k \sin (b t)$

Bước 7.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{k t} A b \cos (b t) + e^{k t} A k \sin (b t)$ .

$A b e^{k t} \cos (b t) + A k e^{k t} \sin (b t)$