Giải tích Ví dụ

$\frac{5}{t^{\frac{1}{5}}} - \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{5}{t^{\frac{1}{5}}} - \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [\frac{5}{t^{\frac{1}{5}}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{5}{t^{\frac{1}{5}}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d t} [\frac{5}{t^{\frac{1}{5}}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $5$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $\frac{5}{t^{\frac{1}{5}}}$ đối với $t$ là $5 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{1}{5}}}]$ .

$5 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{1}{5}}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Bước 2.2

Viết lại $\frac{1}{t^{\frac{1}{5}}}$ ở dạng ${(t^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$ .

$5 \frac{d}{d t} [{(t^{\frac{1}{5}})}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = t^{- 1}$ và $g (t) = t^{\frac{1}{5}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $t^{\frac{1}{5}}$ .

$5 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{5}}]) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$5 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{5}}]) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Bước 2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $t^{\frac{1}{5}}$ .

$5 (- {(t^{\frac{1}{5}})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{5}}]) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{5}$ .

$5 (- {(t^{\frac{1}{5}})}^{- 2} (\frac{1}{5} t^{\frac{1}{5} - 1})) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Bước 2.5

Nhân các số mũ trong ${(t^{\frac{1}{5}})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (- t^{\frac{1}{5} \cdot - 2} (\frac{1}{5} t^{\frac{1}{5} - 1})) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Bước 2.5.2

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $- 2$ .

$5 (- t^{\frac{- 2}{5}} (\frac{1}{5} t^{\frac{1}{5} - 1})) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Bước 2.5.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$5 (- t^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} t^{\frac{1}{5} - 1})) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Bước 2.6

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$5 (- t^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} t^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Bước 2.7

Kết hợp $- 1$ và $\frac{5}{5}$ .

$5 (- t^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} t^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Bước 2.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$5 (- t^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} t^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}})) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Bước 2.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.1

Nhân $- 1$ với $5$ .

$5 (- t^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} t^{\frac{1 - 5}{5}})) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Bước 2.9.2

Trừ $5$ khỏi $1$ .

$5 (- t^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} t^{\frac{- 4}{5}})) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Bước 2.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$5 (- t^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}})) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Bước 2.11

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $t^{- \frac{4}{5}}$ .

$5 (- t^{- \frac{2}{5}} \frac{t^{- \frac{4}{5}}}{5}) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Bước 2.12

Kết hợp $\frac{t^{- \frac{4}{5}}}{5}$ và $t^{- \frac{2}{5}}$ .

$5 (- \frac{t^{- \frac{4}{5}} t^{- \frac{2}{5}}}{5}) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Bước 2.13

Nhân $t^{- \frac{4}{5}}$ với $t^{- \frac{2}{5}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.13.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$5 (- \frac{t^{- \frac{4}{5} - \frac{2}{5}}}{5}) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Bước 2.13.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$5 (- \frac{t^{\frac{- 4 - 2}{5}}}{5}) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Bước 2.13.3

Trừ $2$ khỏi $- 4$ .

$5 (- \frac{t^{\frac{- 6}{5}}}{5}) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Bước 2.13.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$5 (- \frac{t^{- \frac{6}{5}}}{5}) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Bước 2.14

Di chuyển $t^{- \frac{6}{5}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (- \frac{1}{5 t^{\frac{6}{5}}}) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Bước 2.15

Nhân $- 1$ với $5$ .

$- 5 \frac{1}{5 t^{\frac{6}{5}}} + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Bước 2.16

Kết hợp $- 5$ và $\frac{1}{5 t^{\frac{6}{5}}}$ .

$\frac{- 5}{5 t^{\frac{6}{5}}} + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Bước 2.17

Đưa $5$ ra ngoài $- 5$ .

$\frac{5 \cdot - 1}{5 t^{\frac{6}{5}}} + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Bước 2.18

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.18.1

Đưa $5$ ra ngoài $5 t^{\frac{6}{5}}$ .

$\frac{5 \cdot - 1}{5 (t^{\frac{6}{5}})} + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Bước 2.18.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 \cdot - 1}{5 t^{\frac{6}{5}}} + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Bước 2.18.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 1}{t^{\frac{6}{5}}} + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Bước 2.19

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $- 8$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}$ đối với $t$ là $- 8 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{3}{2}}}]$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Bước 3.2

Viết lại $\frac{1}{t^{\frac{3}{2}}}$ ở dạng ${(t^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 \frac{d}{d t} [{(t^{\frac{3}{2}})}^{- 1}]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = t^{- 1}$ và $g (t) = t^{\frac{3}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $t^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}])$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}])$

Bước 3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $t^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- {(t^{\frac{3}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}])$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{3}{2}$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- {(t^{\frac{3}{2}})}^{- 2} (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1}))$

Bước 3.5

Nhân các số mũ trong ${(t^{\frac{3}{2}})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- t^{\frac{3}{2} \cdot - 2} (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1}))$

Bước 3.5.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- t^{\frac{3}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1}))$

Bước 3.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- t^{\frac{3}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1}))$

Bước 3.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- t^{3 \cdot - 1} (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1}))$

Bước 3.5.3

Nhân $3$ với $- 1$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- t^{- 3} (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1}))$

Bước 3.6

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- t^{- 3} (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Bước 3.7

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- t^{- 3} (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Bước 3.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- t^{- 3} (\frac{3}{2} t^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Bước 3.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- t^{- 3} (\frac{3}{2} t^{\frac{3 - 2}{2}}))$

Bước 3.9.2

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- t^{- 3} (\frac{3}{2} t^{\frac{1}{2}}))$

Bước 3.10

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $t^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- t^{- 3} \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2})$

Bước 3.11

Kết hợp $\frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$ và $t^{- 3}$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- \frac{3 t^{\frac{1}{2}} t^{- 3}}{2})$

Bước 3.12

Nhân $t^{\frac{1}{2}}$ với $t^{- 3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.12.1

Di chuyển $t^{- 3}$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- \frac{3 (t^{- 3} t^{\frac{1}{2}})}{2})$

Bước 3.12.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- \frac{3 t^{- 3 + \frac{1}{2}}}{2})$

Bước 3.12.3

Để viết $- 3$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- \frac{3 t^{- 3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2})$

Bước 3.12.4

Kết hợp $- 3$ và $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- \frac{3 t^{\frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}{2})$

Bước 3.12.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- \frac{3 t^{\frac{- 3 \cdot 2 + 1}{2}}}{2})$

Bước 3.12.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.12.6.1

Nhân $- 3$ với $2$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- \frac{3 t^{\frac{- 6 + 1}{2}}}{2})$

Bước 3.12.6.2

Cộng $- 6$ và $1$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- \frac{3 t^{\frac{- 5}{2}}}{2})$

Bước 3.12.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- \frac{3 t^{- \frac{5}{2}}}{2})$

Bước 3.13

Di chuyển $t^{- \frac{5}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- \frac{3}{2 t^{\frac{5}{2}}})$

Bước 3.14

Nhân $- 1$ với $- 8$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} + 8 \frac{3}{2 t^{\frac{5}{2}}}$

Bước 3.15

Kết hợp $8$ và $\frac{3}{2 t^{\frac{5}{2}}}$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} + \frac{8 \cdot 3}{2 t^{\frac{5}{2}}}$

Bước 3.16

Nhân $8$ với $3$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} + \frac{24}{2 t^{\frac{5}{2}}}$

Bước 3.17

Đưa $2$ ra ngoài $24$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} + \frac{2 \cdot 12}{2 t^{\frac{5}{2}}}$

Bước 3.18

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.18.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 t^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} + \frac{2 \cdot 12}{2 (t^{\frac{5}{2}})}$

Bước 3.18.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} + \frac{2 \cdot 12}{2 t^{\frac{5}{2}}}$

Bước 3.18.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} + \frac{12}{t^{\frac{5}{2}}}$

Bước 4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{12}{t^{\frac{5}{2}}} - \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}}$