Giải tích Ví dụ

$\frac{8 + e^{t}}{3 t^{4} - t}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ là $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ trong đó $f (t) = 8 + e^{t}$ và $g (t) = 3 t^{4} - t$ .

$\frac{(3 t^{4} - t) \frac{d}{d t} [8 + e^{t}] - (8 + e^{t}) \frac{d}{d t} [3 t^{4} - t]}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $8 + e^{t}$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [8] + \frac{d}{d t} [e^{t}]$ .

$\frac{(3 t^{4} - t) (\frac{d}{d t} [8] + \frac{d}{d t} [e^{t}]) - (8 + e^{t}) \frac{d}{d t} [3 t^{4} - t]}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Bước 2.2

Vì $8$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $8$ đối với $t$ là $0$ .

$\frac{(3 t^{4} - t) (0 + \frac{d}{d t} [e^{t}]) - (8 + e^{t}) \frac{d}{d t} [3 t^{4} - t]}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Bước 2.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d t} [e^{t}]$ .

$\frac{(3 t^{4} - t) \frac{d}{d t} [e^{t}] - (8 + e^{t}) \frac{d}{d t} [3 t^{4} - t]}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ là $a^{t} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{(3 t^{4} - t) e^{t} - (8 + e^{t}) \frac{d}{d t} [3 t^{4} - t]}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 t^{4} - t$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [3 t^{4}] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{(3 t^{4} - t) e^{t} - (8 + e^{t}) (\frac{d}{d t} [3 t^{4}] + \frac{d}{d t} [- t])}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Bước 4.2

Vì $3$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $3 t^{4}$ đối với $t$ là $3 \frac{d}{d t} [t^{4}]$ .

$\frac{(3 t^{4} - t) e^{t} - (8 + e^{t}) (3 \frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- t])}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$\frac{(3 t^{4} - t) e^{t} - (8 + e^{t}) (3 (4 t^{3}) + \frac{d}{d t} [- t])}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Bước 4.4

Nhân $4$ với $3$ .

$\frac{(3 t^{4} - t) e^{t} - (8 + e^{t}) (12 t^{3} + \frac{d}{d t} [- t])}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Bước 4.5

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- t$ đối với $t$ là $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(3 t^{4} - t) e^{t} - (8 + e^{t}) (12 t^{3} - \frac{d}{d t} [t])}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Bước 4.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(3 t^{4} - t) e^{t} - (8 + e^{t}) (12 t^{3} - 1 \cdot 1)}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Bước 4.7

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{(3 t^{4} - t) e^{t} - (8 + e^{t}) (12 t^{3} - 1)}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} - (8 + e^{t}) (12 t^{3} - 1)}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Bước 5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} + (- 1 \cdot 8 - e^{t}) (12 t^{3} - 1)}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Bước 5.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1

Nhân $- 1$ với $8$ .

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} + (- 8 - e^{t}) (12 t^{3} - 1)}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Bước 5.3.1.2

Khai triển $(- 8 - e^{t}) (12 t^{3} - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} - 8 (12 t^{3} - 1) - e^{t} (12 t^{3} - 1)}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Bước 5.3.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} - 8 (12 t^{3}) - 8 \cdot - 1 - e^{t} (12 t^{3} - 1)}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Bước 5.3.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} - 8 (12 t^{3}) - 8 \cdot - 1 - e^{t} (12 t^{3}) - e^{t} \cdot - 1}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Bước 5.3.1.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.3.1

Nhân $12$ với $- 8$ .

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} - 96 t^{3} - 8 \cdot - 1 - e^{t} (12 t^{3}) - e^{t} \cdot - 1}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Bước 5.3.1.3.2

Nhân $- 8$ với $- 1$ .

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} - 96 t^{3} + 8 - e^{t} (12 t^{3}) - e^{t} \cdot - 1}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Bước 5.3.1.3.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} - 96 t^{3} + 8 - 1 \cdot 12 e^{t} t^{3} - e^{t} \cdot - 1}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Bước 5.3.1.3.4

Nhân $- 1$ với $12$ .

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} - 96 t^{3} + 8 - 12 e^{t} t^{3} - e^{t} \cdot - 1}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Bước 5.3.1.3.5

Nhân $- e^{t} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.3.5.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} - 96 t^{3} + 8 - 12 e^{t} t^{3} + 1 e^{t}}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Bước 5.3.1.3.5.2

Nhân $e^{t}$ với $1$ .

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} - 96 t^{3} + 8 - 12 e^{t} t^{3} + e^{t}}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Bước 5.3.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $3 t^{4} e^{t} - t e^{t} - 96 t^{3} + 8 - 12 e^{t} t^{3} + e^{t}$ .

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} - 96 t^{3} + 8 - 12 t^{3} e^{t} + e^{t}}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Bước 5.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- 96 t^{3} + 3 e^{t} t^{4} - e^{t} t - 12 e^{t} t^{3} + 8 + e^{t}}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$