Giải tích Ví dụ

$\frac{\sin (t)}{1 - \cos (t)}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ là $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ trong đó $f (t) = \sin (t)$ và $g (t) = 1 - \cos (t)$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \frac{d}{d t} [\sin (t)] - \sin (t) \frac{d}{d t} [1 - \cos (t)]}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Bước 2

Đạo hàm của $\sin (t)$ đối với $t$ là $\cos (t)$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin (t) \frac{d}{d t} [1 - \cos (t)]}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - \cos (t)$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \cos (t)]$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin (t) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \cos (t)])}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Bước 3.2

Vì $1$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $1$ đối với $t$ là $0$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin (t) (0 + \frac{d}{d t} [- \cos (t)])}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Bước 3.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d t} [- \cos (t)]$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin (t) \frac{d}{d t} [- \cos (t)]}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Bước 3.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- \cos (t)$ đối với $t$ là $- \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin (t) (- \frac{d}{d t} [\cos (t)])}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Bước 3.5

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) + 1 \sin (t) \frac{d}{d t} [\cos (t)]}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Bước 3.5.2

Nhân $\sin (t)$ với $1$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) + \sin (t) \frac{d}{d t} [\cos (t)]}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Bước 4

Đạo hàm của $\cos (t)$ đối với $t$ là $- \sin (t)$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) + \sin (t) (- \sin (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Bước 5

Nâng $\sin (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - (\sin^{1} (t) \sin (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Bước 6

Nâng $\sin (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - (\sin^{1} (t) \sin^{1} (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Bước 7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - {\sin (t)}^{1 + 1}}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Bước 8

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1 \cos (t) - \cos (t) \cos (t) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Bước 9.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.1

Nhân $\cos (t)$ với $1$ .

$\frac{\cos (t) - \cos (t) \cos (t) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Bước 9.2.1.2

Nhân $- \cos (t) \cos (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.2.1

Nâng $\cos (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\cos (t) - (\cos^{1} (t) \cos (t)) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Bước 9.2.1.2.2

Nâng $\cos (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\cos (t) - (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Bước 9.2.1.2.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\cos (t) - {\cos (t)}^{1 + 1} - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Bước 9.2.1.2.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\cos (t) - \cos^{2} (t) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Bước 9.2.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \cos^{2} (t)$ .

$\frac{\cos (t) - (\cos^{2} (t)) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Bước 9.2.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \sin^{2} (t)$ .

$\frac{\cos (t) - (\cos^{2} (t)) - (\sin^{2} (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Bước 9.2.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (\cos^{2} (t)) - (\sin^{2} (t))$ .

$\frac{\cos (t) - (\cos^{2} (t) + \sin^{2} (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Bước 9.2.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{\cos (t) - (\sin^{2} (t) + \cos^{2} (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Bước 9.2.6

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\frac{\cos (t) - 1 \cdot 1}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Bước 9.2.7

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{\cos (t) - 1}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Bước 9.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $\cos (t) - 1$ và ${(1 - \cos (t))}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $\cos (t)$ .

$\frac{- 1 (- \cos (t)) - 1}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Bước 9.3.1.2

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (- \cos (t)) - 1 (1)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Bước 9.3.1.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (- \cos (t)) - 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (- \cos (t) + 1)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Bước 9.3.1.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- 1 (1 - \cos (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Bước 9.3.1.5

Đưa $1 - \cos (t)$ ra ngoài $- 1 (1 - \cos (t))$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cdot - 1}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Bước 9.3.1.6

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1.6.1

Đưa $1 - \cos (t)$ ra ngoài ${(1 - \cos (t))}^{2}$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cdot - 1}{(1 - \cos (t)) (1 - \cos (t))}$

Bước 9.3.1.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(1 - \cos (t)) \cdot - 1}{(1 - \cos (t)) (1 - \cos (t))}$

Bước 9.3.1.6.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 1}{1 - \cos (t)}$

Bước 9.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{1 - \cos (t)}$