Giải tích Ví dụ

$\frac{t}{{(t - 3)}^{2}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ là $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ trong đó $f (t) = t$ và $g (t) = {(t - 3)}^{2}$ .

$\frac{{(t - 3)}^{2} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t - 3)}^{2}]}{{({(t - 3)}^{2})}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân các số mũ trong ${({(t - 3)}^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(t - 3)}^{2} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t - 3)}^{2}]}{{(t - 3)}^{2 \cdot 2}}$

Bước 2.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{{(t - 3)}^{2} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t - 3)}^{2}]}{{(t - 3)}^{4}}$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{{(t - 3)}^{2} \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [{(t - 3)}^{2}]}{{(t - 3)}^{4}}$

Bước 2.3

Nhân ${(t - 3)}^{2}$ với $1$ .

$\frac{{(t - 3)}^{2} - t \frac{d}{d t} [{(t - 3)}^{2}]}{{(t - 3)}^{4}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = t^{2}$ và $g (t) = t - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $t - 3$ .

$\frac{{(t - 3)}^{2} - t (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [t - 3])}{{(t - 3)}^{4}}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{{(t - 3)}^{2} - t (2 u \frac{d}{d t} [t - 3])}{{(t - 3)}^{4}}$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $t - 3$ .

$\frac{{(t - 3)}^{2} - t (2 (t - 3) \frac{d}{d t} [t - 3])}{{(t - 3)}^{4}}$

Bước 4

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{{(t - 3)}^{2} - 2 t ((t - 3) \frac{d}{d t} [t - 3])}{{(t - 3)}^{4}}$

Bước 4.2

Đưa $t - 3$ ra ngoài ${(t - 3)}^{2} - 2 t ((t - 3) \frac{d}{d t} [t - 3])$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Đưa $t - 3$ ra ngoài ${(t - 3)}^{2}$ .

$\frac{(t - 3) (t - 3) - 2 t ((t - 3) \frac{d}{d t} [t - 3])}{{(t - 3)}^{4}}$

Bước 4.2.2

Đưa $t - 3$ ra ngoài $- 2 t ((t - 3) \frac{d}{d t} [t - 3])$ .

$\frac{(t - 3) (t - 3) + (t - 3) (- 2 t (\frac{d}{d t} [t - 3]))}{{(t - 3)}^{4}}$

Bước 4.2.3

Đưa $t - 3$ ra ngoài $(t - 3) (t - 3) + (t - 3) (- 2 t (\frac{d}{d t} [t - 3]))$ .

$\frac{(t - 3) (t - 3 - 2 t (\frac{d}{d t} [t - 3]))}{{(t - 3)}^{4}}$

Bước 5

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đưa $t - 3$ ra ngoài ${(t - 3)}^{4}$ .

$\frac{(t - 3) (t - 3 - 2 t (\frac{d}{d t} [t - 3]))}{(t - 3) {(t - 3)}^{3}}$

Bước 5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(t - 3) (t - 3 - 2 t (\frac{d}{d t} [t - 3]))}{(t - 3) {(t - 3)}^{3}}$

Bước 5.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{t - 3 - 2 t (\frac{d}{d t} [t - 3])}{{(t - 3)}^{3}}$

Bước 6

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $t - 3$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$\frac{t - 3 - 2 t (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(t - 3)}^{3}}$

Bước 7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{t - 3 - 2 t (1 + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(t - 3)}^{3}}$

Bước 8

Vì $- 3$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $t$ là $0$ .

$\frac{t - 3 - 2 t (1 + 0)}{{(t - 3)}^{3}}$

Bước 9

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{t - 3 - 2 t \cdot 1}{{(t - 3)}^{3}}$

Bước 9.2

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{t - 3 - 2 t}{{(t - 3)}^{3}}$

Bước 9.3

Trừ $2 t$ khỏi $t$ .

$\frac{- t - 3}{{(t - 3)}^{3}}$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- t$ .

$\frac{- (t) - 3}{{(t - 3)}^{3}}$

Bước 10.2

Viết lại $- 3$ ở dạng $- 1 (3)$ .

$\frac{- (t) - 1 (3)}{{(t - 3)}^{3}}$

Bước 10.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (t) - 1 (3)$ .

$\frac{- (t + 3)}{{(t - 3)}^{3}}$

Bước 10.4

Viết lại $- (t + 3)$ ở dạng $- 1 (t + 3)$ .

$\frac{- 1 (t + 3)}{{(t - 3)}^{3}}$

Bước 10.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{t + 3}{{(t - 3)}^{3}}$