Giải tích Ví dụ

$e^{t} (e^{2 t} - e^{- 2 t})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ là $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ trong đó $f (t) = e^{t}$ và $g (t) = e^{2 t} - e^{- 2 t}$ .

$e^{t} \frac{d}{d t} [e^{2 t} - e^{- 2 t}] + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Bước 2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{2 t} - e^{- 2 t}$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [e^{2 t}] + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}]$ .

$e^{t} (\frac{d}{d t} [e^{2 t}] + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}]) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = e^{t}$ và $g (t) = 2 t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $2 t$ .

$e^{t} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}]) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{t} (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}]) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 t$ .

$e^{t} (e^{2 t} \frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}]) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$e^{t} (e^{2 t} (2 \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}]) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{t} (e^{2 t} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}]) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Bước 4.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Nhân $2$ với $1$ .

$e^{t} (e^{2 t} \cdot 2 + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}]) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Bước 4.3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e^{2 t}$ .

$e^{t} (2 \cdot e^{2 t} + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}]) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Bước 4.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- e^{- 2 t}$ đối với $t$ là $- \frac{d}{d t} [e^{- 2 t}]$ .

$e^{t} (2 e^{2 t} - \frac{d}{d t} [e^{- 2 t}]) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = e^{t}$ và $g (t) = - 2 t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $- 2 t$ .

$e^{t} (2 e^{2 t} - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- 2 t])) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Bước 5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{t} (2 e^{2 t} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- 2 t])) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Bước 5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $- 2 t$ .

$e^{t} (2 e^{2 t} - (e^{- 2 t} \frac{d}{d t} [- 2 t])) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Bước 6

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- 2 t$ đối với $t$ là $- 2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$e^{t} (2 e^{2 t} - e^{- 2 t} (- 2 \frac{d}{d t} [t])) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Bước 6.2

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$e^{t} (2 e^{2 t} + 2 e^{- 2 t} \frac{d}{d t} [t]) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Bước 6.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{t} (2 e^{2 t} + 2 e^{- 2 t} \cdot 1) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Bước 6.4

Nhân $2$ với $1$ .

$e^{t} (2 e^{2 t} + 2 e^{- 2 t}) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Bước 7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ là $a^{t} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{t} (2 e^{2 t} + 2 e^{- 2 t}) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) e^{t}$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{t} (2 e^{2 t}) + e^{t} (2 e^{- 2 t}) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) e^{t}$

Bước 8.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{t} (2 e^{2 t}) + e^{t} (2 e^{- 2 t}) + e^{2 t} e^{t} - e^{- 2 t} e^{t}$

Bước 8.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Nhân $e^{t}$ với $e^{2 t}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1

Di chuyển $e^{2 t}$ .

$e^{2 t} e^{t} \cdot 2 + e^{t} (2 e^{- 2 t}) + e^{2 t} e^{t} - e^{- 2 t} e^{t}$

Bước 8.3.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$e^{2 t + t} \cdot 2 + e^{t} (2 e^{- 2 t}) + e^{2 t} e^{t} - e^{- 2 t} e^{t}$

Bước 8.3.1.3

Cộng $2 t$ và $t$ .

$e^{3 t} \cdot 2 + e^{t} (2 e^{- 2 t}) + e^{2 t} e^{t} - e^{- 2 t} e^{t}$

Bước 8.3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e^{3 t}$ .

$2 \cdot e^{3 t} + e^{t} (2 e^{- 2 t}) + e^{2 t} e^{t} - e^{- 2 t} e^{t}$

Bước 8.3.3

Nhân $e^{t}$ với $e^{- 2 t}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.3.1

Di chuyển $e^{- 2 t}$ .

$2 e^{3 t} + e^{- 2 t} e^{t} \cdot 2 + e^{2 t} e^{t} - e^{- 2 t} e^{t}$

Bước 8.3.3.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 e^{3 t} + e^{- 2 t + t} \cdot 2 + e^{2 t} e^{t} - e^{- 2 t} e^{t}$

Bước 8.3.3.3

Cộng $- 2 t$ và $t$ .

$2 e^{3 t} + e^{- t} \cdot 2 + e^{2 t} e^{t} - e^{- 2 t} e^{t}$

Bước 8.3.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e^{- t}$ .

$2 e^{3 t} + 2 \cdot e^{- t} + e^{2 t} e^{t} - e^{- 2 t} e^{t}$

Bước 8.3.5

Nhân $e^{2 t}$ với $e^{t}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.5.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 e^{3 t} + 2 e^{- t} + e^{2 t + t} - e^{- 2 t} e^{t}$

Bước 8.3.5.2

Cộng $2 t$ và $t$ .

$2 e^{3 t} + 2 e^{- t} + e^{3 t} - e^{- 2 t} e^{t}$

Bước 8.3.6

Nhân $e^{- 2 t}$ với $e^{t}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.6.1

Di chuyển $e^{t}$ .

$2 e^{3 t} + 2 e^{- t} + e^{3 t} - (e^{t} e^{- 2 t})$

Bước 8.3.6.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 e^{3 t} + 2 e^{- t} + e^{3 t} - e^{t - 2 t}$

Bước 8.3.6.3

Trừ $2 t$ khỏi $t$ .

$2 e^{3 t} + 2 e^{- t} + e^{3 t} - e^{- t}$

Bước 8.3.7

Cộng $2 e^{3 t}$ và $e^{3 t}$ .

$3 e^{3 t} + 2 e^{- t} - e^{- t}$

Bước 8.3.8

Trừ $e^{- t}$ khỏi $2 e^{- t}$ .

$3 e^{3 t} + e^{- t}$