Giải tích Ví dụ

$\frac{1}{1 + t^{2}}$

Bước 1

Viết lại $\frac{1}{1 + t^{2}}$ ở dạng ${(1 + t^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d t} [{(1 + t^{2})}^{- 1}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = t^{- 1}$ và $g (t) = 1 + t^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $1 + t^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 + t^{2}$ .

$- {(1 + t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + t^{2}$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$- {(1 + t^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Bước 3.2

Vì $1$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $1$ đối với $t$ là $0$ .

$- {(1 + t^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Bước 3.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$- {(1 + t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- {(1 + t^{2})}^{- 2} (2 t)$

Bước 3.5

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(1 + t^{2})}^{2}} t$

Bước 4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{{(1 + t^{2})}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(1 + t^{2})}^{2}} t$

Bước 4.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2}{{(1 + t^{2})}^{2}} t$

Bước 4.2.3

Kết hợp $t$ và $\frac{2}{{(1 + t^{2})}^{2}}$ .

$- \frac{t \cdot 2}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Bước 4.2.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $t$ .

$- \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}}$