Giải tích Ví dụ

$\frac{1}{4} t^{2} - \ln (t + 1)$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{1}{4} t^{2} - \ln (t + 1)$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [\frac{1}{4} t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{4} t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d t} [\frac{1}{4} t^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{4} t^{2}$ đối với $t$ là $\frac{1}{4} \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{4} (2 t) + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

Bước 2.3

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2}{4} t + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

Bước 2.4

Kết hợp $\frac{2}{4}$ và $t$ .

$\frac{2 t}{4} + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

Bước 2.5

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 t$ .

$\frac{2 (t)}{4} + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

Bước 2.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{2 t}{2 \cdot 2} + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

Bước 2.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 t}{2 \cdot 2} + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

Bước 2.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{t}{2} + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- \ln (t + 1)$ đối với $t$ là $- \frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]$ .

$\frac{t}{2} - \frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = \ln (t)$ và $g (t) = t + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $t + 1$ .

$\frac{t}{2} - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t + 1])$

Bước 3.2.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $t + 1$ .

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{t + 1} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Bước 3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $t + 1$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{t + 1} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]))$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{t + 1} (1 + \frac{d}{d t} [1]))$

Bước 3.5

Vì $1$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $1$ đối với $t$ là $0$ .

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{t + 1} (1 + 0))$

Bước 3.6

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{t + 1} \cdot 1)$

Bước 3.7

Nhân $\frac{1}{t + 1}$ với $1$ .

$\frac{t}{2} - \frac{1}{t + 1}$

Bước 4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để viết $\frac{t}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{t + 1}{t + 1}$ .

$\frac{t}{2} \cdot \frac{t + 1}{t + 1} - \frac{1}{t + 1}$

Bước 4.2

Để viết $- \frac{1}{t + 1}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{t}{2} \cdot \frac{t + 1}{t + 1} - \frac{1}{t + 1} \cdot \frac{2}{2}$

Bước 4.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $2 (t + 1)$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Nhân $\frac{t}{2}$ với $\frac{t + 1}{t + 1}$ .

$\frac{t (t + 1)}{2 (t + 1)} - \frac{1}{t + 1} \cdot \frac{2}{2}$

Bước 4.3.2

Nhân $\frac{1}{t + 1}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{t (t + 1)}{2 (t + 1)} - \frac{2}{(t + 1) \cdot 2}$

Bước 4.3.3

Sắp xếp lại các thừa số của $(t + 1) \cdot 2$ .

$\frac{t (t + 1)}{2 (t + 1)} - \frac{2}{2 (t + 1)}$

Bước 4.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{t (t + 1) - 2}{2 (t + 1)}$