Giải tích Ví dụ

$(1 + \sqrt{t}) (2 t^{2} - 3)$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{t}$ ở dạng $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [(1 + t^{\frac{1}{2}}) (2 t^{2} - 3)]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ là $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ trong đó $f (t) = 1 + t^{\frac{1}{2}}$ và $g (t) = 2 t^{2} - 3$ .

$(1 + t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [2 t^{2} - 3] + (2 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 t^{2} - 3$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$(1 + t^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]) + (2 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.2

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t^{2}$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$(1 + t^{\frac{1}{2}}) (2 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]) + (2 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$(1 + t^{\frac{1}{2}}) (2 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 3]) + (2 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.4

Nhân $2$ với $2$ .

$(1 + t^{\frac{1}{2}}) (4 t + \frac{d}{d t} [- 3]) + (2 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.5

Vì $- 3$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $t$ là $0$ .

$(1 + t^{\frac{1}{2}}) (4 t + 0) + (2 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Cộng $4 t$ và $0$ .

$(1 + t^{\frac{1}{2}}) (4 t) + (2 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.6.2

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $1 + t^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \cdot (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + t^{\frac{1}{2}}$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])$

Bước 3.8

Vì $1$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $1$ đối với $t$ là $0$ .

$4 (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) (0 + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])$

Bước 3.9

Cộng $0$ và $\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})$

Bước 4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$4 (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$4 (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$4 (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$4 (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})$

Bước 7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$4 (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})$

Bước 8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$4 (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})$

Bước 9

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 10

Di chuyển $t^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(4 \cdot 1 + 4 t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 \cdot 1 t + 4 t^{\frac{1}{2}} t + (2 t^{2} - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 \cdot 1 t + 4 t^{\frac{1}{2}} t + 2 t^{2} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.1

Nhân $4$ với $1$ .

$4 t + 4 t^{\frac{1}{2}} t + 2 t^{2} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11.4.2

Nâng $t$ lên lũy thừa $1$ .

$4 t + 4 (t^{1} t^{\frac{1}{2}}) + 2 t^{2} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11.4.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$4 t + 4 t^{1 + \frac{1}{2}} + 2 t^{2} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11.4.4

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$4 t + 4 t^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 2 t^{2} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11.4.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$4 t + 4 t^{\frac{2 + 1}{2}} + 2 t^{2} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11.4.6

Cộng $2$ và $1$ .

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + 2 t^{2} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11.4.7

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + t^{2} \frac{2}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11.4.8

Kết hợp $t^{2}$ và $\frac{2}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + \frac{t^{2} \cdot 2}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11.4.9

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $t^{2}$ .

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + \frac{2 \cdot t^{2}}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11.4.10

Di chuyển $t^{\frac{1}{2}}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + \frac{2 t^{2} t^{- \frac{1}{2}}}{2} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11.4.11

Nhân $t^{2}$ với $t^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.11.1

Di chuyển $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + \frac{2 (t^{- \frac{1}{2}} t^{2})}{2} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11.4.11.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + \frac{2 t^{- \frac{1}{2} + 2}}{2} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11.4.11.3

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + \frac{2 t^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}{2} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11.4.11.4

Kết hợp $2$ và $\frac{2}{2}$ .

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + \frac{2 t^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}{2} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11.4.11.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + \frac{2 t^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}{2} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11.4.11.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.11.6.1

Nhân $2$ với $2$ .

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + \frac{2 t^{\frac{- 1 + 4}{2}}}{2} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11.4.11.6.2

Cộng $- 1$ và $4$ .

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{2} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11.4.12

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{2} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11.4.13

Chia $t^{\frac{3}{2}}$ cho $1$ .

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + t^{\frac{3}{2}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11.4.14

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + t^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11.4.15

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + t^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11.4.16

Cộng $4 t^{\frac{3}{2}}$ và $t^{\frac{3}{2}}$ .

$4 t + 5 t^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}$