Giải tích Ví dụ

$(1 - t) {(9 + t^{2})}^{- 1}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ là $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ trong đó $f (t) = 1 - t$ và $g (t) = {(9 + t^{2})}^{- 1}$ .

$(1 - t) \frac{d}{d t} [{(9 + t^{2})}^{- 1}] + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = t^{- 1}$ và $g (t) = 9 + t^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $9 + t^{2}$ .

$(1 - t) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [9 + t^{2}]) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$(1 - t) (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [9 + t^{2}]) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $9 + t^{2}$ .

$(1 - t) (- {(9 + t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [9 + t^{2}]) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $9 + t^{2}$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [9] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$(1 - t) (- {(9 + t^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d t} [9] + \frac{d}{d t} [t^{2}])) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

Bước 3.2

Vì $9$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $9$ đối với $t$ là $0$ .

$(1 - t) (- {(9 + t^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [t^{2}])) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

Bước 3.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$(1 - t) (- {(9 + t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}]) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$(1 - t) (- {(9 + t^{2})}^{- 2} (2 t)) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

Bước 3.5

Nhân $2$ với $- 1$ .

$(1 - t) (- 2 {(9 + t^{2})}^{- 2} t) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

Bước 3.6

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - t$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$(1 - t) (- 2 {(9 + t^{2})}^{- 2} t) + {(9 + t^{2})}^{- 1} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t])$

Bước 3.7

Vì $1$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $1$ đối với $t$ là $0$ .

$(1 - t) (- 2 {(9 + t^{2})}^{- 2} t) + {(9 + t^{2})}^{- 1} (0 + \frac{d}{d t} [- t])$

Bước 3.8

Cộng $0$ và $\frac{d}{d t} [- t]$ .

$(1 - t) (- 2 {(9 + t^{2})}^{- 2} t) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [- t]$

Bước 3.9

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- t$ đối với $t$ là $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$(1 - t) (- 2 {(9 + t^{2})}^{- 2} t) + {(9 + t^{2})}^{- 1} (- \frac{d}{d t} [t])$

Bước 3.10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$(1 - t) (- 2 {(9 + t^{2})}^{- 2} t) + {(9 + t^{2})}^{- 1} (- 1 \cdot 1)$

Bước 3.11

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$(1 - t) (- 2 {(9 + t^{2})}^{- 2} t) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \cdot - 1$

Bước 3.11.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của ${(9 + t^{2})}^{- 1}$ .

$(1 - t) (- 2 {(9 + t^{2})}^{- 2} t) - 1 \cdot {(9 + t^{2})}^{- 1}$

Bước 3.11.3

Viết lại $- 1 {(9 + t^{2})}^{- 1}$ ở dạng $- {(9 + t^{2})}^{- 1}$ .

$(1 - t) (- 2 {(9 + t^{2})}^{- 2} t) - {(9 + t^{2})}^{- 1}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(1 - t) (- 2 \frac{1}{{(9 + t^{2})}^{2}} t) - {(9 + t^{2})}^{- 1}$

Bước 4.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(1 - t) (- 2 \frac{1}{{(9 + t^{2})}^{2}} t) - \frac{1}{9 + t^{2}}$

Bước 4.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{{(9 + t^{2})}^{2}}$ .

$(1 - t) (\frac{- 2}{{(9 + t^{2})}^{2}} t) - \frac{1}{9 + t^{2}}$

Bước 4.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$(1 - t) (- \frac{2}{{(9 + t^{2})}^{2}} t) - \frac{1}{9 + t^{2}}$

Bước 4.3.3

Kết hợp $t$ và $\frac{2}{{(9 + t^{2})}^{2}}$ .

$(1 - t) (- \frac{t \cdot 2}{{(9 + t^{2})}^{2}}) - \frac{1}{9 + t^{2}}$

Bước 4.3.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $t$ .

$(1 - t) (- \frac{2 \cdot t}{{(9 + t^{2})}^{2}}) - \frac{1}{9 + t^{2}}$

Bước 4.3.5

Để viết $(1 - t) (- \frac{2 t}{{(9 + t^{2})}^{2}})$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{9 + t^{2}}{9 + t^{2}}$ .

$(1 - t) (- \frac{2 t}{{(9 + t^{2})}^{2}}) \cdot \frac{9 + t^{2}}{9 + t^{2}} - \frac{1}{9 + t^{2}}$

Bước 4.3.6

Kết hợp $(1 - t) (- \frac{2 t}{{(9 + t^{2})}^{2}})$ và $\frac{9 + t^{2}}{9 + t^{2}}$ .

$\frac{(1 - t) (- \frac{2 t}{{(9 + t^{2})}^{2}}) (9 + t^{2})}{9 + t^{2}} - \frac{1}{9 + t^{2}}$

Bước 4.3.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{(1 - t) (- \frac{2 t}{{(9 + t^{2})}^{2}}) (9 + t^{2}) - 1}{9 + t^{2}}$

Bước 4.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- (1 - t) (9 + t^{2}) \frac{2 t}{{(9 + t^{2})}^{2}} - 1}{t^{2} + 9}$

Bước 4.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (1 - t) (9 + t^{2}) \frac{2 t}{{(9 + t^{2})}^{2}} - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1.1

Sắp xếp lại biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1.1.1

Sắp xếp lại $1$ và $- t$ .

$\frac{- (- t + 1) (9 + t^{2}) \frac{2 t}{{(9 + t^{2})}^{2}} - 1}{t^{2} + 9}$

Bước 4.5.1.1.2

Sắp xếp lại $9$ và $t^{2}$ .

$\frac{- (- t + 1) (t^{2} + 9) \frac{2 t}{{(9 + t^{2})}^{2}} - 1}{t^{2} + 9}$

Bước 4.5.1.1.3

Sắp xếp lại $9$ và $t^{2}$ .

$\frac{- (- t + 1) (t^{2} + 9) \frac{2 t}{{(t^{2} + 9)}^{2}} - 1}{t^{2} + 9}$

Bước 4.5.1.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (- t + 1) (t^{2} + 9) \frac{2 t}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$ .

$\frac{- (((- t + 1) (t^{2} + 9)) \frac{2 t}{{(t^{2} + 9)}^{2}}) - 1}{t^{2} + 9}$

Bước 4.5.1.3

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$\frac{- (((- t + 1) (t^{2} + 9)) \frac{2 t}{{(t^{2} + 9)}^{2}}) - 1 (1)}{t^{2} + 9}$

Bước 4.5.1.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (((- t + 1) (t^{2} + 9)) \frac{2 t}{{(t^{2} + 9)}^{2}}) - 1 (1)$ .

$\frac{- (((- t + 1) (t^{2} + 9)) \frac{2 t}{{(t^{2} + 9)}^{2}} + 1)}{t^{2} + 9}$

Bước 4.5.2

Triệt tiêu thừa số chung $t^{2} + 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.1

Đưa $t^{2} + 9$ ra ngoài $(- t + 1) (t^{2} + 9)$ .

$\frac{- ((t^{2} + 9) (- t + 1) \frac{2 t}{{(t^{2} + 9)}^{2}} + 1)}{t^{2} + 9}$

Bước 4.5.2.2

Đưa $t^{2} + 9$ ra ngoài ${(t^{2} + 9)}^{2}$ .

$\frac{- ((t^{2} + 9) (- t + 1) \frac{2 t}{(t^{2} + 9) (t^{2} + 9)} + 1)}{t^{2} + 9}$

Bước 4.5.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- ((t^{2} + 9) (- t + 1) \frac{2 t}{(t^{2} + 9) (t^{2} + 9)} + 1)}{t^{2} + 9}$

Bước 4.5.2.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{- ((- t + 1) \frac{2 t}{t^{2} + 9} + 1)}{t^{2} + 9}$

Bước 4.5.3

Nhân $- t + 1$ với $\frac{2 t}{t^{2} + 9}$ .

$\frac{- (\frac{(- t + 1) (2 t)}{t^{2} + 9} + 1)}{t^{2} + 9}$

Bước 4.5.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $- t + 1$ .

$\frac{- (\frac{2 \cdot (- t + 1) t}{t^{2} + 9} + 1)}{t^{2} + 9}$

Bước 4.5.5

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{- (\frac{2 (- t + 1) t}{t^{2} + 9} + \frac{t^{2} + 9}{t^{2} + 9})}{t^{2} + 9}$

Bước 4.5.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- \frac{2 (- t + 1) t + t^{2} + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Bước 4.5.7

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 t (- t + 1) + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Bước 4.5.8

Viết lại $\frac{t^{2} + 2 t (- t + 1) + 9}{t^{2} + 9}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 t (- t) + 2 t \cdot 1 + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Bước 4.5.8.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 \cdot - 1 t \cdot t + 2 t \cdot 1 + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Bước 4.5.8.3

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 \cdot - 1 t \cdot t + 2 t + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Bước 4.5.8.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.8.4.1

Nhân $t$ với $t$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.8.4.1.1

Di chuyển $t$ .

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 \cdot - 1 (t \cdot t) + 2 t + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Bước 4.5.8.4.1.2

Nhân $t$ với $t$ .

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 \cdot - 1 t^{2} + 2 t + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Bước 4.5.8.4.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{- \frac{t^{2} - 2 t^{2} + 2 t + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Bước 4.5.8.5

Trừ $2 t^{2}$ khỏi $t^{2}$ .

$\frac{- \frac{- t^{2} + 2 t + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Bước 4.6

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 9}{t^{2} + 9} \cdot \frac{1}{t^{2} + 9}$

Bước 4.7

Nhân $- \frac{- t^{2} + 2 t + 9}{t^{2} + 9} \cdot \frac{1}{t^{2} + 9}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Nhân $\frac{1}{t^{2} + 9}$ với $\frac{- t^{2} + 2 t + 9}{t^{2} + 9}$ .

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 9}{(t^{2} + 9) (t^{2} + 9)}$

Bước 4.7.2

Nâng $t^{2} + 9$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 9}{{(t^{2} + 9)}^{1} (t^{2} + 9)}$

Bước 4.7.3

Nâng $t^{2} + 9$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 9}{{(t^{2} + 9)}^{1} {(t^{2} + 9)}^{1}}$

Bước 4.7.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 9}{{(t^{2} + 9)}^{1 + 1}}$

Bước 4.7.5

Cộng $1$ và $1$ .

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 9}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

Bước 4.8

Đưa $- 1$ ra ngoài $- t^{2}$ .

$- \frac{- (t^{2}) + 2 t + 9}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

Bước 4.9

Đưa $- 1$ ra ngoài $2 t$ .

$- \frac{- (t^{2}) - (- 2 t) + 9}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

Bước 4.10

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (t^{2}) - (- 2 t)$ .

$- \frac{- (t^{2} - 2 t) + 9}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

Bước 4.11

Viết lại $9$ ở dạng $- 1 (- 9)$ .

$- \frac{- (t^{2} - 2 t) - 1 (- 9)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

Bước 4.12

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (t^{2} - 2 t) - 1 (- 9)$ .

$- \frac{- (t^{2} - 2 t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

Bước 4.13

Viết lại $- (t^{2} - 2 t - 9)$ ở dạng $- 1 (t^{2} - 2 t - 9)$ .

$- \frac{- 1 (t^{2} - 2 t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

Bước 4.14

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- - \frac{t^{2} - 2 t - 9}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

Bước 4.15

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 \frac{t^{2} - 2 t - 9}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

Bước 4.16

Nhân $\frac{t^{2} - 2 t - 9}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$ với $1$ .

$\frac{t^{2} - 2 t - 9}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$