Giải tích Ví dụ

$f (x) = \sqrt{\sin (π (x - 1))} + \sqrt{4 - x^{2}}$

Bước 1

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{\sin (π (x - 1))}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$\sin (π (x - 1)) \geq 0$

Bước 2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$π (x - 1) \geq \arcsin (0)$

Bước 2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn $π (x - 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Rút gọn bằng cách nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$π x + π \cdot - 1 \geq \arcsin (0)$

Bước 2.2.1.1.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $π$ .

$π x - 1 \cdot π \geq \arcsin (0)$

Bước 2.2.1.2

Viết lại $- 1 π$ ở dạng $- π$ .

$π x - π \geq \arcsin (0)$

Bước 2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (0)$ là $0$ .

$π x - π \geq 0$

Bước 2.4

Cộng $π$ cho cả hai vế của bất đẳng thức.

$π x \geq π$

Bước 2.5

Chia mỗi số hạng trong $π x \geq π$ cho $π$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Chia mỗi số hạng trong $π x \geq π$ cho $π$ .

$\frac{π x}{π} \geq \frac{π}{π}$

Bước 2.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{π x}{π} \geq \frac{π}{π}$

Bước 2.5.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x \geq \frac{π}{π}$

Bước 2.5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x \geq \frac{π}{π}$

Bước 2.5.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$x \geq 1$

Bước 2.6

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$π x - π = π - 0$

Bước 2.7

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Trừ $0$ khỏi $π$ .

$π x - π = π$

Bước 2.7.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $x$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.1

Cộng $π$ cho cả hai vế của phương trình.

$π x = π + π$

Bước 2.7.2.2

Cộng $π$ và $π$ .

$π x = 2 π$

Bước 2.7.3

Chia mỗi số hạng trong $π x = 2 π$ cho $π$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.3.1

Chia mỗi số hạng trong $π x = 2 π$ cho $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{2 π}{π}$

Bước 2.7.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{π x}{π} = \frac{2 π}{π}$

Bước 2.7.3.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{2 π}{π}$

Bước 2.7.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.3.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = \frac{2 π}{π}$

Bước 2.7.3.3.1.2

Chia $2$ cho $1$ .

$x = 2$

Bước 2.8

Tìm chu kỳ của $\sin (π (x - 1))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 2.8.2

Thay thế $b$ với $π$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| π |}$

Bước 2.8.3

$π$ xấp xỉ $3.14159265$ , là một số dương, nên ta loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối

$\frac{2 π}{π}$

Bước 2.8.4

Triệt tiêu thừa số chung $π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 π}{π}$

Bước 2.8.4.2

Chia $2$ cho $1$ .

$2$

Bước 2.9

Chu kỳ của hàm $\sin (π (x - 1))$ là $2$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2$ radian theo cả hai hướng.

$x = 1 + 2 n, 2 + 2 n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 2.10

Hợp nhất các câu trả lời.

$x = 1 n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 2.11

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$0 < x < 1$

$1 < x < 2$

Bước 2.12

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.12.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $0 < x < 1$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.12.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $0 < x < 1$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0.5$

Bước 2.12.1.2

Thay thế $x$ bằng $0.5$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\sin (π ((0.5) - 1)) \geq 0$

Bước 2.12.1.3

Vế trái $- 1$ nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

Sai

Bước 2.12.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $1 < x < 2$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.12.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $1 < x < 2$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 1.5$

Bước 2.12.2.2

Thay thế $x$ bằng $1.5$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\sin (π ((1.5) - 1)) \geq 0$

Bước 2.12.2.3

Vế trái $1$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 2.12.3

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$0 < x < 1$ Sai

$1 < x < 2$ Đúng

$0 < x < 1$ Sai

$1 < x < 2$ Đúng

Bước 2.13

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$1 + 2 n \leq x \leq 2 + 2 n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 3

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{4 - x^{2}}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$4 - x^{2} \geq 0$

Bước 4

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Trừ $4$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$- x^{2} \geq - 4$

Bước 4.2

Chia mỗi số hạng trong $- x^{2} \geq - 4$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- x^{2} \geq - 4$ cho $- 1$ . Khi nhân hoặc chia cả hai vế của một bất đẳng thức cho một giá trị âm, hãy đổi dấu của bất đẳng thức.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Bước 4.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Bước 4.2.2.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Bước 4.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Chia $- 4$ cho $- 1$ .

$x^{2} \leq 4$

Bước 4.3

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của bất đẳng thức để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{4}$

Bước 4.4

Rút gọn phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1.1

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$| x | \leq \sqrt{4}$

Bước 4.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.1

Rút gọn $\sqrt{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.1.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{2^{2}}$

Bước 4.4.2.1.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$| x | \leq | 2 |$

Bước 4.4.2.1.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $2$ là $2$ .

$| x | \leq 2$

Bước 4.5

Viết $| x | \leq 2$ ở dạng hàm từng khúc.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Để tìm khoảng cho phần đầu tiên, tìm nơi mà phần bên trong của giá trị tuyệt đối không âm.

$x \geq 0$

Bước 4.5.2

Trong phần nơi mà $x$ không âm, loại bỏ giá trị tuyệt đối.

$x \leq 2$

Bước 4.5.3

Để tìm khoảng cho phần thứ hai, tìm nơi mà phần bên trong của giá trị tuyệt đối âm.

$x < 0$

Bước 4.5.4

Trong phần nơi mà $x$ âm, loại bỏ giá trị tuyệt đối và nhân với $- 1$ .

$- x \leq 2$

Bước 4.5.5

Viết ở dạng hàm từng khúc.

${\begin{cases} x \leq 2 & x \geq 0 \\ - x \leq 2 & x < 0 \end{cases}$

Bước 4.6

Tìm phần giao của $x \leq 2$ và $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 2$

Bước 4.7

Giải $- x \leq 2$ khi $x < 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Chia mỗi số hạng trong $- x \leq 2$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1.1

Chia mỗi số hạng trong $- x \leq 2$ cho $- 1$ . Khi nhân hoặc chia cả hai vế của một bất đẳng thức cho một giá trị âm, hãy đổi dấu của bất đẳng thức.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{2}{- 1}$

Bước 4.7.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x}{1} \geq \frac{2}{- 1}$

Bước 4.7.1.2.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x \geq \frac{2}{- 1}$

Bước 4.7.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1.3.1

Chia $2$ cho $- 1$ .

$x \geq - 2$

Bước 4.7.2

Tìm phần giao của $x \geq - 2$ và $x < 0$ .

$- 2 \leq x < 0$

Bước 4.8

Tìm hợp của các đáp án.

$- 2 \leq x \leq 2$

Bước 5

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | - 2 \leq x \leq 2, x = 1 + 2 n, x = 2 + 2 n}$

Bước 6